形式幂级数 [学习笔记]
形式幂级数
沉迷多项式，无法自拔...
不具体写了看笔记本，这里稍微记一下。
目录
- 多项式的各种运算
- 伯努利数
- 拉格朗日反演
任意模数卷积
我的三模数ntt跑得好慢，然后拆系数fft跑的好快
设\(M = \lceil P \rceil\)，将整数表示成\(k\cdot M+b\)的形式
对\(x\)和\(y\)进行卷积，分别表示称\(a\cdot M + b,\ c\cdot M + d\)
对\(a,b,c,d\)进行dft和idft即可
每个数大小在\(10^{14}\)级别，可以使用复数下fft，共进行7次运算
通常M取\(32768=2^{15}\)
根据猜测，系数表示不溢出double点值表示就不会溢出double。这玩意应该只能承受一次点值乘法
void mul_any(int *x, int *y, int lim) {
for(int i=0; i<lim; i++) {
a[i].x = x[i] >> 15; b[i].x = x[i] & 32767;
c[i].x = y[i] >> 15; d[i].x = y[i] & 32767;
}
dft(a, 1); dft(b, 1); dft(c, 1); dft(d, 1);
for(int i=0; i<n; i++) {
cd _a = a[i], _b = b[i], _c = c[i], _d = d[i];
a[i] = _a * _c;
b[i] = _a * _d + _b * _c;
c[i] = _b * _d;
}
dft(a, -1); dft(b, -1); dft(c, -1);
for(int i=0; i<lim; i++) {
ll _a = (ll) floor(a[i].x + 0.5) %mo, _b = (ll) floor(b[i].x + 0.5) %mo, _c = (ll) floor(c[i].x + 0.5) %mo;
printf("%lld ", ((_a << 30) %mo + (_b << 15) %mo + _c) %mo);
}
}
以下复杂度均为\(T(n) = T(n/2) + O(nlogn) =O(nlogn)\)
模板在最下方
多项式求逆元
求
- 注意到这时候\(A(x)*B(x)\)的\(1...n-1\)次项系数为0
用倍增的思想，已知\(\mod x^{\lceil \frac{l}{2} \rceil}\)的逆元\(B_0(x)\)求\(\mod x^l\)下的逆元\(B(x)\)
\(l=1\)时，\(b_0 = a_0^{-1}\)，可以发现多项式有逆的充要条件是常数项有逆
两式相减，然后平方，同乘\(A(x)\)，得到
处理\(\mod x^l\)时，\(l\)就是当前的次数界，次数\(\ge l\)的都整除没了。
可以理解为只关心前l项
多项式开根
求
同样倍增的思想
已知\(\mod x^{\lceil \frac{l}{2} \rceil}\)的平方根\(B_0(x)\)求\(\mod x^l\)下的平方根\(B(x)\)
\(l=1\)时，\(b_0 \equiv \sqrt{a_0} \pmod x\)，可能需要二次剩余
移项化简后得到
同时还需要求逆...
牛顿迭代法
给出\(G(x)\)，求\(F(x)\)，
倍增的思想。将\(G(F(X))\)在\(F_0(x)\)处泰勒展开得到
也可以用这个式子求逆元和开根，最后的结果式子一样。
- 多项式求ln和exp就是和对应的麦克劳林级数复合，所以要求常数项为0
多项式求ln
给出\(F(x) = 1 + \sum_{i \ge 1}f_ix^i\)
求一下导
多项式求exp
给出\(A(x) = \sum_{i \ge 1}a_ix^i\)
取对数后使用牛顿迭代法
多项式k次幂
当\(A(x)\)的常数项为1
否则提取最低次项\(ax^d\)
伯努利数
用来解决等幂求和问题
复杂度与幂次有关
除了\(B_1\)，其他奇数项都是0。\(B_1^+ = \frac{1}{2},B_1^-=-\frac{1}{2}\)
\(0^0=1\)
递推关系
令\(n=1, m\neq 0\),
指数型生成函数
对于\(B^-\),
使用多项式求逆元即可预处理伯努利数. 求\(\mod x^{n+1}\)意义下逆元
拉格朗日反演
复合逆(反函数)：
没有常数项的\(f(x), g(x)\)，\(f(g(x))=x\)，那么互为复合逆，\(f_1g_1=1,g(f(x))=x\)
用拉格朗日反演可以\(O(nlogn)\)求复合逆某一项的系数
可以配合多项式k次幂使用。
生成函数中出现x之后可以用啦。
模板
namespace ntt {
int g = 3, rev[N];
void dft(int *a, int n, int flag) {
int k = 0; while((1<<k) < n) k++;
for(int i=0; i<n; i++) {
rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(k-1));
if(i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
}
for(int l=2; l<=n; l<<=1) {
int m = l>>1, wn = Pow(g, flag == 1 ? (P-1)/l : P-1-(P-1)/l);
for(int *p = a; p != a+n; p += l)
for(int k=0, w=1; k<m; k++, w = (ll)w*wn %P) {
int t = (ll) w * p[k+m] %P, r = p[k];
p[k+m] = (r - t + P) %P;
p[k] = (r + t) %P;
}
}
if(flag == -1) {
ll inv = Pow(n, P-2);
for(int i=0; i<n; i++) a[i] = a[i] * inv %P;
}
}
void inverse(int *a, int *b, int l) {
static int t[N];
if(l == 1) {b[0] = Pow(a[0], P-2); return;}
inverse(a, b, l>>1);
int n = l<<1;
for(int i=0; i<l; i++) t[i] = a[i], t[i+l] = 0;
dft(t, n, 1); dft(b, n, 1);
for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) b[i] * (2 - (ll) t[i] * b[i] %P + P) %P;
dft(b, n, -1); for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
}
void sqrt(int *a, int *b, int l) {
static int t[N], ib[N];
if(l == 1) {b[0] = 1; return;}
sqrt(a, b, l>>1);
int n = l<<1;
for(int i=0; i<l; i++) t[i] = a[i], t[i+l] = 0, ib[i] = ib[i+l] = 0;
inverse(b, ib, l);
dft(t, n, 1); dft(b, n, 1); dft(ib, n, 1);
for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) inv2 * (b[i] + (ll) t[i] * ib[i] %P) %P;
dft(b, n, -1); for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
}
void ln(int *a, int *b, int l) {
static int da[N], ia[N];
int n = l<<1;
for(int i=0; i<n; i++) da[i] = ia[i] = 0;
for(int i=0; i<l-1; i++) da[i] = (ll) (i+1) * a[i+1] %P;
inverse(a, ia, l);
dft(da, n, 1); dft(ia, n, 1);
for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) da[i] * ia[i] %P;
dft(b, n, -1);
for(int i=l-1; i>0; i--) b[i] = (ll) inv[i] * b[i-1] %P; b[0] = 0;
for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
}
void exp(int *a, int *b, int l) {
static int t[N];
if(l == 1) {b[0] = 1; return;}
exp(a, b, l>>1);
int n = l<<1;
for(int i=0; i<n; i++) t[i] = 0;
ln(b, t, l);
for(int i=0; i<l; i++) t[i] = (a[i] - t[i] + P) %P; t[0] = (t[0] + 1) %P;
dft(b, n, 1); dft(t, n, 1);
for(int i=0; i<n; i++) b[i] = (ll) b[i] * t[i] %P;
dft(b, n, -1); for(int i=l; i<n; i++) b[i] = 0;
}
void power(int *a, int k, int l) {
static int t[N];
int n = l<<1;
for(int i=0; i<n; i++) t[i] = 0;
ln(a, t, l);
for(int i=0; i<l; i++) t[i] = (ll) k * t[i] %P;
for(int i=0; i<n; i++) a[i] = 0;
exp(t, a, l);
}
}
