求图的强连通分量--tarjan算法
一:tarjan算法详解
◦思想：
◦
◦做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号(也可以叫做开始时间）用low[i]表示i节点DFS过程中i的下方节点所能到达的开始时间最早的节点的开始时间。（也就是之后的深搜所能到达的最小开始时间）初始时dfn[i]=low[i]
◦
◦在DFS过程中会形成一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就越小。
◦
◦DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。
◦（对于一个强连通分量和一个指出去的有向边，在输出这个强连通分量的时候，那条指出去的边的终点已经作为一个强连通分量统计，并且出栈了。）
◦如果发现某节点u有边连到搜索树（栈）中栈里的节点v，则更新u的low 值为dfn[v](更新为low[v]也可以，更新为low可以算是压缩路径，速度略快）。
◦
◦如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。
◦
◦此时将栈中所有节点弹出，包括u,就找到了一个强连通分量
模板：void Tarjan(u) {/*注意小写的tarjan是关键字，还有index也是*/ dfn[u]=low[u]=++index stack.push(u)
for each (u, v) in E {
if (v is not visted) {
tarjan(v)
low[u] = min(low[u], low[v])
}
else if (v in stack) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]) /*这里是low[u] = min(low[u], low[v])也是可以的，因为如果这个点被访问了，而且仍然待在栈中，说明u---v是一条回边，那么这里用dfn[v]
low[v]都是相同了的*/
}
} if (dfn[u] == low[u])
{ //u是一个强连通分量的根 repeat v = stack.pop
print v
until (u== v) } //退栈，把整个强连通分量都弹出来 } //复杂度是O(E+V)的
例题：1001. [WZOI2011 S3] 消息传递（来源sojs.tk）
★★ 输入文件：messagew.in 输出文件：messagew.out 简单对比
时间限制：1 s 内存限制：128 MB
- Problem 2 消息传递 (messagew.pas/c/cpp)
- 问题描述
- WZland开办了一个俱乐部(这里面可以干任何的事情)，这引来了许多的人来加入。俱乐部的人数越来越多，关系也越来越复杂……
- 俱乐部的人来自各个地方，为了增加友谊，俱乐部举行了一次晚会。晚会上又进行了一个传话游戏，如果A认识B，那么A收到某个消息，就会把这个消息传给B，以及所有A认识的人(如果A认识B，B不一定认识A)，所有人从1到N编号。
- 现在给出所有“认识”关系，俱乐部的负责人WZland的国王想知道一个十分简单的问题：如果A发布一条新消息，那么会不会经过若干次传话后，这个消息传回给了A，1≤A≤N。但是WZland的国王是出了名的数学差，幸好的是你在他的身边，于是他就将这个问题交给你来解决。
- 输入格式
- 输入数据中的第一行是两个数N和M，两数之间有一个空格，表示人数和认识关系数。
- 接下来的M行，每行两个数A和B，表示A认识B(1A, BN，AB)。
- 输出格式
- 输出文件中一共有N行，每行一个字符“T”或“F”。第i行如果是“T”，表示i发出一条新消息会传回给i；如果是“F”，表示i发出一条新消息不会传回给i。
- 样例输入输出
- message.in
- 4 6
- 1 2
- 2 3
- 4 1
- 3 1
- 1 3
- 2 3
- message.out
- T
- T
- T
- F
- 数据规模
- 对于30%的数据，N≤1000，M≤20000；
- 对于50%的数据，N≤10000，M≤100000；
- 对于100%的数据，N≤100000，M≤200000；
- 认识关系可能会重复给出。
- 时间限制
- 1s
- 解析：”认识关系可能会重复给出。“根本不用处理，不会影响答案的。
- 代码及其分析：
#include<iostream> using namespace std; #include<cstdio> #define N 100100 #include<vector> vector<int>G[N]; vector<int>ans[N]; int clac=0; bool inzhan[N]; #include<stack> #include<cstring> stack<int>s; int low[N],dfn[N]; bool flag[N]={0},ok[N]={0}; int n,m; int Index; void input() { Index=0; scanf("%d%d",&n,&m); int a,b; for(int i=1;i<=m;++i) { scanf("%d%d",&a,&b); G[a].push_back(b); } memset(inzhan,false,sizeof(inzhan)); memset(dfn,-1,sizeof(dfn)); memset(low,-1,sizeof(low)); } void Tarjan(int k) { int j; dfn[k]=low[k]=++Index;/*tarjan过程，记录到达该点的时间，和从该点出发能到达的时间最小的点*/ inzhan[k]=true;/*入栈*/ s.push(k); for(int i=0;i<G[k].size();++i) { int tp=G[k][i];/*邻接表储存，G[k][i]表示从k点出发的第i条边的终点编号*/ if(low[tp]==-1) { Tarjan(tp); low[k]=min(low[k],low[tp]); } else if(inzhan[tp]) low[k]=min(low[tp],low[k]); /*整理总共有三种情况：未被访问，访问了但是是不是强连通分量还不知道（也就是仍在栈中），访问了已经出栈了（这种不用处理，因为如果这个点在好几个强连通分量中，那么他此时一定没有出栈。因为深搜嘛）*/ } if(low[k]==dfn[k])/*low[k]==dfn[k]是这个强连通分量的标志，也就是起始位置，不能再向上找了*/ { int l; clac++;/*强连通分量个数*/ do{ l=s.top(); s.pop(); ans[clac].push_back(l); inzhan[l]=false; }while(l!=k); if(ans[clac].size()>1) flag[clac]=true;/*记录这个强连通分量中的所有点是可以传话成功的，下面在重标记每一个点*/ } } void OUT() { for(int i=1;i<=clac;++i) if(flag[i]) { for(int j=0;j<ans[i].size();++j) ok[ans[i][j]]=true; } for(int i=1;i<=n;++i) if(ok[i]) printf("T\n"); else printf("F\n"); } int main() { freopen("messagew.in","r",stdin); freopen("messagew.out","w",stdout); input(); for(int i=1;i<=n;++i) if(dfn[i]==-1) Tarjan(i); OUT(); fclose(stdin); fclose(stdout); return 0; }
