洛谷P3327 [SDOI2015]约数个数和（莫比乌斯反演）

传送门

 

公式太长了……我就直接抄一下这位大佬好了……实在懒得打了

首先据说$d(ij)$有个性质$$d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$$

我们所求的答案为$$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$$

$$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$$

考虑一下$gcd(x,y)=1$，我们可以考虑莫比乌斯函数的性质，那么即$\sum_{d\mid n}\mu(d)$与$[n=1]$的结果相同

则有$$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d)$$

然后我们由枚举$gcd(x,y)$的约数改为直接枚举$d$

$$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)*[d|gcd(x,y)]$$

然后把$\mu(d)$提取出来

$$ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[d|gcd(x,y)]$$

然后，我们把枚举$i,j$和约数改为直接枚举约数，然后每个约数都会对他所有的倍数产生贡献

$$ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}[d|gcd(x,y)]\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor$$

然后我们把枚举$x,y$改为枚举$dx,dy$，那么就可以把$[d|gcd(x,y)]$这个条件给消掉

$$ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{y=1}^{{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor$$

$$ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)(\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor)(\sum_{y=1}^{{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}}\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor)$$

然后$\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor$和$\sum_{y=1}^{{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}}\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor$的前缀和都可以预处理，直接上整除分块就可以了

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=50005;
int vis[N],p[N],mu[N],sum[N],m;
ll g[N],ans;
void init(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!vis[i]) p[++m]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=m&&p[j]*i<=n;++j){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ans=0;
        for(int l=1,r;l<=i;l=r+1){
            r=(i/(i/l));
            ans+=1ll*(r-l+1)*(i/l);
        }
        g[i]=ans;
    }
}
int main(){
//    freopen("testdata.in","r",stdin);
    init(50000);
    int n,m,T,lim;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        lim=min(n,m),ans=0;
        for(int l=1,r;l<=lim;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=(sum[r]-sum[l-1])*g[n/l]*g[m/l];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}