欧拉回路

欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，

称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。

判断欧拉路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

程序实现一般是如下过程：

1.利用并查集判断图是否连通，即判断p[i] < 0的个数，如果大于1，说明不连通。

2.根据出度入度个数，判断是否满足要求。

3.利用dfs输出路径。

比较好的题目是poj2337，判断单词是否连成一排的。

hdu3018

给出N个节点，M个边，问要遍历一遍所有的边，需要的最小group数目。
求一个图中最少几笔画，利用欧拉回路性质，首先得到图的每个强连通分支，然后计算每个强连通分支每个是否都是偶数度是的话，一笔解决，否的话，需要奇数度节点个数的1/2笔解决。（当一个节点度数为奇数时，我们只需要令它的度数为1，因为偶数的话直接抵消了，最后判断一个scc中未1的节点个数，除以2就得到该scc的最小笔画了）

代码：

 

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int maxv = 100000 + 2;
int odds[maxv]; /* 顶点 */
int du[maxv]; /* 每个顶点的度数 */
int p[maxv]; /* 并查集数组 */
bool used[maxv];
int scc[maxv]; /* scc个数 */
void init(int n)
{
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        odds[i] = 0;
        p[i] = -1;
        du[i] = 0;
        used[i] = 0;
    }
}
int utf_find(int x)
{
    if(0 <= p[x])
    {
        p[x] = utf_find(p[x]);
        return p[x];
    }
    return x;
}
void utf_union(int a, int b)
{
    int r1 = utf_find(a);
    int r2 = utf_find(b);
    if(r1 == r2)
        return;
    int n1 = p[r1];
    int n2 = p[r2];
    if(n1 < n2)
    {
        p[r2] = r1;
        p[r1] += n2;
    }
    else
    {
        p[r1] = r2;
        p[r2] += n1;
    }
}
int main()
{
    int n = 0;
    int m = 0;
    int a = 0;
    int b = 0;
    int i = 0;
    int cnt = 0;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        init(n);
        cnt = 0;
        for(i = 1; i <= m; ++i)
        {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            du[a]++;
            du[b]++;
            utf_union(a, b);
        }
        for(i = 1; i <= n; ++i)
        {
            int f = utf_find(i);
            if(!used[f])
            {
                used[f] = 1;
                scc[cnt++] = f;
            }
            if(1 == du[i]%2)
                odds[f]++;
        }
        int ret = 0;
        for(i = 0; i < cnt; ++i)
        {
            if(0 == du[scc[i]])
                continue;
            if(0 == odds[scc[i]])
                ++ret;
            else
                ret += odds[scc[i]]/2;
        }
        printf("%d\n", ret); 
    }
    return 0;
}

 

poj1386

给出n个单词，如果一个单词的尾和另一个单词的头字符相等，那么可以相连，问这n个单词是否可以排成一列。欧拉路应用，构图：一个单词的头尾字母分别作为顶点，每输入一个word，该word的头指向word的尾画一个有向边，并且记录每个顶点的出入度。利用并查集先判断是否为scc，如果是的话则判断是否奇数度节点为0或者只有2个。

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int max_len = 1000 + 10;
const int maxv = 27;
int in[maxv]; /* 入度 */
int out[maxv]; /* 出度 */
int p[maxv];/* 并查集数组 */
bool used[maxv];/* 标识字符是否出现在图中 */
void init()
{
    for(int i = 0; i < maxv; ++i)
    {
        in[i] = 0;
        out[i] = 0;
        p[i] = -1;
        used[i] = 0;
    }
}
int find_set(int x)
{
    if(0 <= p[x])
    {
        p[x] = find_set(p[x]);
        return p[x];
    }
    return x;
}
void union_set(int a, int b)
{
    int r1 = find_set(a);
    int r2 = find_set(b);
    if(r1 == r2)
        return;
    int n1 = p[r1];
    int n2 = p[r2];
    if(n1 < n2)
    {
        p[r2] = r1;
        p[r1] += n2;
    }
    else
    {
        p[r1] = r2;
        p[r2] += n1;
    }
}
int main()
{
    int t = 0;
    int n = 0;
    int len = 0;
    int s = 0;
    int e = 0;
    int i = 0;
    char word[max_len];
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        init();
        scanf("%d", &n);
        for(i = 0; i < n; ++i)
        {
            scanf("%s", word);
            len = strlen(word);
            s = word[0] - 'a';
            e = word[len - 1] - 'a';
            used[s] = 1;
            used[e] = 1;
            out[s]++;
            in[e]++;
            union_set(s, e);
        }
        //根据并查集判断图是否连通
        int scc = 0;
        for(i = 0; i < maxv; ++i)
        {
            if(used[i] && 0 > p[i])
                ++scc;
        }
        if(1 < scc)
        {
            printf("The door cannot be opened.\n");
            continue;
        }
        //入度是否等于出度
        int a = 0;
        int b = 0;
        for(i = 0; i < maxv; ++i)
        {
            if(used[i] && in[i] != out[i])
            {
                if(1 == (in[i] - out[i]))
                    ++a;
                else if(1 == (out[i] - in[i]))
                    ++b;
                else
                    break;
            }
        }
        if(i < maxv)
            printf("The door cannot be opened.\n");
        else if(0 == (a + b) || (1 == a && 1 == b))
            printf("Ordering is possible.\n");
        else 
            printf("The door cannot be opened.\n");
    }
    return 0;
}

poj2230

题目大意：给出n个field及m个连接field的边，然后要求遍历每条边仅且2次，求出一条路径来。
这个题目典型欧拉回路，由于题目保证了肯定存在，所以我们直接dfs就行，首先有个小技巧是如何判断该条路是否走过了，也就是我们得对有向边进行标记。利用之前的结构
struct edge{
    int next;
    int to;
};
edge node[maxm];
int adj[maxv] = {-1}
每一条边对应了一个next，我们只需要对next标记就可以了。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int maxm = 2*50000 + 1;
const int maxv = 10000 + 5;
struct edge{
    int to;
    int next;
};
edge node[maxm]; /*邻接表*/
int adj[maxv];
bool used[maxm];/* 标记边是否访问过*/
void Euler(int vertix)
{
    for(int i = adj[vertix]; i != -1; i = node[i].next)
    {
        if(!used[i])
        {
            used[i] = 1;
            Euler(node[i].to);
        }
    }
    printf("%d\n", vertix);
}
int main()
{
    int n = 0;
    int m = 0;
    int i = 0;
    int u = 0;
    int v = 0;
    int cnt = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(i = 0; i <= n; ++i)
        adj[i] = -1;
    for(i = 0; i <= m*2; ++i)
        used[i] = 0;
    for(i = 0; i < m; ++i)
    {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        //u->v
        node[cnt].to = v;
        node[cnt].next = adj[u];
        adj[u] = cnt++;
        //v->u
        node[cnt].to = u;
        node[cnt].next = adj[v];
        adj[v] = cnt++;
    }
    Euler(1);
    return 0;
}

poj2337
求欧拉路径和poj1386同一个题，只不过这个题目需要输出欧拉路径。
题目大意：给出一组单词，如果两个单词，一个单词的头和另一个单词的尾相同，则可以相连，例如abce, efdg,可以相连，问这组单词能否排成一排，如果可以求出字典序自小的那个。
构图：单词作为边，单词的头字母和尾字母分别作为顶点，读入一个单词，添加一条边，并且用邻接表来存边，首先利用并查集判断图是否连通，然后再判断是否可以构成欧拉通路或者回路，如果是回路，则从a开始找，找到第一个存在的字母，从这个字母遍历就行，如果是通路，则必须从出度大于入度1的那个顶点开始遍历。由于这个题目要求最小字典顺序，然后考虑我们建立邻接表的时候是采用头插法，那么我们如果将单词从小到大排序，由于我们遍历顶点肯定是从小的顶点开始的，这样遍历一个顶点的邻接边的时候就会从大到小访问这个顶点的边，无法满足字典最小，所以从大到小排序,遍历依node数组为准，每次遍历一条边设置该下标已访问过。

代码：

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
const int max_l = 28;
//char word[maxn][max_l];
char ret[maxn][max_l];
struct edge{
    int to;
    int next;
    char str[max_l];
};
edge node[maxn];
int adj[max_l];
int in[max_l];
int out[max_l];
bool used[maxn];
bool exist[max_l]; 
int p[max_l]; /* 并查集 */
int num_e = 0;
int ret_e = 0;
//从大到小排序
bool cmp(edge p1, edge p2)
{
    return strcmp(p1.str, p2.str) > 0;
}
void init()
{
    for(int i = 0; i < max_l; ++i)
    {
        in[i] = 0;
        out[i] = 0;
        p[i] = -1;
        exist[i] = 0;
        adj[i] = -1;
    }
    for(int j = 0; j < maxn; ++j)
        used[j] = 0;
    num_e = 0;
    ret_e = 0;
}
int find_set(int u)
{
    if(0 <= p[u])
    {
        p[u] = find_set(p[u]);
        return p[u];
    }
    return u;
}
void union_set(int u, int v)
{
    int r1 = find_set(u);
    int r2 = find_set(v);
    if(r1 == r2)
        return;
    int n1 = p[r1];
    int n2 = p[r2];
    if(n1 < n2)
    {
        p[r2] = r1;
        p[r1] += n2;
    }
    else
    {
        p[r1] = r2;
        p[r2] += n1;
    }
}
void Eular(int vertix, int idx)
{
    for(int i = adj[vertix]; i != -1; i = node[i].next)
    {
        if(!used[i])
        {
    //        strcpy(ret[ret_e++], node[i].str);
            used[i] = 1;
            Eular(node[i].to, i);
        }
    }
    /*idx就是node数组的下标，标识一条边*/
    if(0 <= idx)
        strcpy(ret[ret_e++], node[idx].str);
}
int main()
{
    int t = 0;
    int n = 0;
    int i = 0;
    int u = 0;
    int v = 0;
    int start = 0; //从哪个顶点开始遍历
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        if(!n)
            continue;
        for(i = 0; i < n; ++i)
            scanf("%s", node[i].str);
        init();
        start = max_l;
        sort(node, node + n, cmp);
        //建图
        for(i = 0; i < n; ++i)
        {
            u = node[i].str[0] - 'a';
            v = node[i].str[strlen(node[i].str) - 1] - 'a';
            in[v]++;
            out[u]++;
            exist[u] = 1;
            exist[v] = 1;
            union_set(u, v);
            node[num_e].to = v;
            node[num_e].next = adj[u];
            adj[u] = num_e++;
        }
        //判断是否连通
        int scc = 0;
        for(i = 0; i < max_l; ++i)
        {
            if(exist[i] && 0 > p[i])
                ++scc;
            if(1 < scc)
                break;
        }
        if(1 < scc) //不连通
        {
            printf("***\n");
            continue;
        }
        //是通路or回路
        int a = 0;
        int b = 0;
        start = -1;
        for(i = 0; i < max_l; ++i)
        {
            if(exist[i] && in[i] != out[i])
            {
                if(1 == in[i] - out[i])
                    ++a;    
                else if(1 == out[i] - in[i])
                {
                    ++b;
                    start = i;
                }
                else
                    break;
            }
        }
        if(i < max_l)
        {
            printf("***\n");
            continue;
        }
        else
        {
            if(!((0 == a + b) || (1 == a && 1 == b)))
            {
                printf("***\n");
                continue;
            }
            if(-1 == start)
            {//回路 找到第一个存在的字母
                int k = 0;
                for(k = 0; k < max_l; ++k)
                {
                    if(out[k])
                        break;
                }
                start = k;
            }
            //从顶点start开始dfs
            Eular(start, -1);
            printf("%s", ret[ret_e - 1]);
            for(i = ret_e - 2; i >= 0; --i)
                printf(".%s", ret[i]);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}