【算法导论】学习笔记——第8章 线性时间排序

本章节主要证明对包含n个元素的输入序列来说，任何比较排序在最坏情况下都要经过omega(nlgn)次比较。从而证明归并排序和堆排序是渐近最优的。同时，介绍了三种线性时间复杂度的排序算法：计数排序、基数排序和桶排序。

1. 排序算法的下界
在确定排序算法的下界时，借助决策树模型。决策树模型是一棵完全二叉树，它可以表示在给定输入规模情况下，某一特定排序算法对所有元素的比较操作。对于比较操作，假定元素互异，因此仅使用小于等于和大于比较操作符。典型的决策树模型如下图所示：

显然，n个元素，n!种不同排列，均可以为叶子结点。因此，有
n! <= l <= 2^h，（l为从根结点到叶子结点的路径长度，即为比较次数）。
故h >= lg(n!) = omega(nlgn)。
8.1-1
解 叶节点的最小深度为n-1，即有序的排列。

8.1-3
证明 （1）因为n!/2 <= l <= 2^h，所以h>=nlgn-nlge-1
　    （2）因为n!/n <= l <= 2^h，所以h>=nlgn-nlge-lgn
　    （3）因为n!/2^n <= l <= 2^h，所以h>=nlgn-nlge-n
　　  所以h=omega(nlgn)无法达到线性。

8.1-4
证明：先分析题目，n个元素，由n/k个子序列构成，子序列内部无序，但是子序列之间是有序的。因此，对长度为n的序列的排序转化为对n/k个由k个元素构成的子序列进行排序。证明比较次数的下界是omega(nlgn)。
首先对于k个无序元素进行排序，比较次数的下界为omega(klgk)，n/k个子序列的比较次数为omega(nlgk)。
让后还需要考虑，对n个元素确定这n/k个子序列执行的比较次数。因为k\n，不妨令n=km，则
(k!)^(n/k) <= l <= 2^h，故h>=mlg(k)!，所以h>=omega(mklgk)=omega(nlgk)
因此总的比较次数为omega(nlgk)。

2. 计数排序
计数排序假设n个输入中的每一个都是0到k区间的一个整数，其中k为某个整数。当k=O(n)时，排序的运行时间为theta(n)。
计数排序的基本思想是：对每一个输入元素x，确定小于x的元素个数。利用这一信息，就可以直接把x放到它在输出数组中的位置了。当存在相同元素时，需要从后向前扫描，当确定好当前元素位置后，需要调整计数个数。代码实现如下：

#define MAXN 105
#define MAXK 100

int A[MAXN], B[MAXN];   // A[]: original numbers, B[]: sorted numbers.

void CountingSort(int A[], int B[], int n, int k) {
    int C[MAXK+1];
    int i, j;

    for (i=0; i<=k; ++i)
        C[i] = 0;

    for (j=1; j<=n; ++j)
        ++C[A[j]];
    // C[i] now contains the number of elements equal to i.

    for (i=1; i<=k; ++i)
        C[i] += C[i-1];
    // C[i] now contains the number of elements less than or equal to i.

    for (j=n; j>=1; --j) {
        B[C[A[j]]] = A[j];
        --C[A[j]];
    }
}

8.2-4
解：就是计数排序中1~19行程序，先计算得到数组C。所求[a..b]区间的个数就是C[b]-C[a-1]。
　　时间复杂度T(n) = theta(n) + theta(k) = theta(n+k)。

3. 基数排序
基数排序(radix sort)，即给定n个d位数，其中每个数位有k个可能的取值。对于基数排序的d次循环的每一次循环，使用复杂度为theta(n+k)的稳定排序（如计数排序），则基数排序的时间复杂度为theta(d(n+k))。代码实现如下：

void CountingSort(int A[], int B[], int n, int k, int in) {
    int C[MAXK+1];
    int i, j, tmp, mod=pow(k, in), div = mod/k;

    for (i=0; i<k; ++i)
        C[i] = 0;

    for (j=1; j<=n; ++j) {
        tmp = A[j]%mod/div;
        ++C[tmp];
    }

    for (i=1; i<k; ++i)
        C[i] += C[i-1];

    for (j=n; j>=1; --j) {
        tmp = A[j]%mod/div;
        B[C[tmp]] = A[j];
        --C[tmp];
    }
}

void RadixSort(int A[], int n, int d) {
    int i;
    int B[MAXN];

    for (i=1; i<=d; ++i) {
        if (i & 1)
            CountingSort(A, B, n, 10, i);
        else
            CountingSort(B, A, n, 10, i);
    }

    if (d & 1) {
        for (i=1; i<=n; ++i)
            A[i] = B[i];
    }
}