NOIP2016 PJ T4 魔法阵
题目描述
六十年一次的魔法战争就要开始了,大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。
大魔法师有m个魔法物品,编号分别为1,2,...,m。每个物品具有一个魔法值,我们用Xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值Xi是不超过n的正整数,可能有多个物品的魔法值相同。
大魔法师认为,当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa<xb<xc<xd,Xb-Xa=2(Xd-Xc),并且xb-xa<(xc-xb)/3时,这四个魔法物品形成了一个魔法阵,他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品,B物品,C物品,D物品。
现在,大魔法师想要知道,对于每个魔法物品,作为某个魔法阵的A物品出现的次数,作为B物品的次数,作为C物品的次数,和作为D物品的次数。
输入输出格式
输入格式:输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。
接下来m行,每行一个正整数,第i+1行的正整数表示Xi,即编号为i的物品的魔法值。
保证,
,
。每个Xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。
共输出m行,每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作 为A,B,C,D物品分别出现的次数。
保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。
每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。
输入输出样例
30 8 1 24 7 28 5 29 26 24
4 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 0
15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 0 0 0 4 0 0 0 3 5 0 0 2 4 0 0 1 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 0 0 4 3 0 0 5 4 0 0 0 5
说明
【样例解释1】
共有5个魔法阵,分别为:
物品1,3,7,6,其魔法值分别为1,7,26,29;
物品1,5,2,7,其魔法值分别为1,5,24,26;
物品1,5,7,4,其魔法值分别为1,5,26,28;
物品1,5,8,7,其魔法值分别为1,5,24,26;
物品5,3,4,6,其魔法值分别为5,7,28,29。
以物品5为例,它作为A物品出现了1次,作为B物品出现了3次,没有作为C物品或者D物品出现,所以这一行输出的四个数依次为1,3,0,0。
此外,如果我们将输出看作一个m行4列的矩阵,那么每一列上的m个数之和都应等于魔法阵的总数。所以,如果你的输出不满足这个性质,那么这个输出一定不正确。你可以通过这个性质在一定程度上检查你的输出的正确性。
【数据规模】
思路
85分做法:
注:本文主体是lz在校运会时偷偷溜到机房写的。。。。。
可以知道一个魔法阵的条件
(1)a < b < c < d
(2)b - a = 2(d - c)
由此,我们设d-c=i 那么 b-a=2*i;
(3)b - a < (c - b) / 3
so 2*i<(c-b)/3
解得:6*i<c-b
再设 6*i+k=c-b
得图:
大招放! 枚举a ,i [可以得到b],k [可以得到c,然后继而得到d!]
P.S. 屁嘞,说了这么多你的枚举范围呢?
QwQ枚举的范围 啊?
a的范围自然是1--->n
嗯,由刚才的结论得:d-a=(b-a)+(c-b)+(d-c)=2*i+6*i+k+i=9*i+k——(1)式
那么i 的范围: 1--->(n-a-1)/9 //因为a<b<c<d<=n,k最小为1
所以k的范围:因为(1)式d-a=9*i+k, 而且n>=a,所以k最大为n-a-9*i , 最小为1
当然你也可以用其他方法拿到85分,比如你可以枚举n-d的距离,然后枚举i,再枚举k, 我的另外一种85分
然后是简单的代码:
1 program ac85; 2 var 3 n,m,i,k,a,b,c,d:longint; 4 p,x:array[1..40000]of longint; 5 ans:array[1..15000,1..4]of longint; 6 begin 7 8 assign(input,'magic.in');reset(input); 9 assign(output,'magic.out');rewrite(output); 10 readln(n,m); 11 for i:= 1 to m do 12 begin 13 read(x[i]); 14 inc(p[x[i]]); 15 end; 16 17 for a:= 1 to n do 18 if p[a]<>0 then 19 for i:= 1 to (n-a-1) div 9 do 20 begin 21 b:=a+2*i; 22 if p[b]=0 then continue; 23 for k:= 1 to n-a-9*i do 24 begin 25 c:=b+6*i+k; 26 if p[c]=0 then continue; 27 d:=c+i; 28 if p[d]=0 then continue; 29 ans[a,1]:=ans[a,1]+p[b]*p[c]*p[d]; 30 ans[b,2]:=ans[b,2]+p[a]*p[c]*p[d]; 31 ans[c,3]:=ans[c,3]+p[a]*p[b]*p[d]; 32 ans[d,4]:=ans[d,4]+p[a]*p[b]*p[c];//乘法原理,因为当前已经确定那么其他三个相乘就是此时这种情况下的种数 33 end; 34 end; 35 for i:=1 to m do 36 writeln(ans[x[i],1],' ',ans[x[i],2],' ',ans[x[i],3],' ',ans[x[i],4]); 37 close(input); 38 close(output); 39 40 end.
100分做法
因为通过上面85分的做法我们知道只要知道 a,i,k ,就可以算。。。
但是如果我们反过来
我们先枚举d,i,当然我们得到了c ,那么在枚举k 就是求a,b
当前c的方案种数=(当前魔法值等于d的魔法物品总量)*(前面得到的若干个a 的魔法物品总量)*(前面得到的若干个b 的魔法物品总量)
当前d的方案种数=(当前魔法值等于c的魔法物品总量)*(前面得到的若干个a 的魔法物品总量)*(前面得到的若干个b 的魔法物品总量)
因为要枚举k,每次枚举时把得到的a和b的乘积乘以c +到ans[c,3] ,以及把得到的a和b的乘积乘以d +到ans[d,4]里面 ,那么机制的你是不是马上想起了前缀和后缀和一类的东西QwQ,这就是前缀和啊;
//图中第二次的c和d加的sum是不是包含上次的c和d加的sum啊,这样在d往后推移的过程中,每次都加最小的a*b*(c或d)和更前面的sum啊
那同理,我们用同样的方法来求c和d的ans:
假设我们已经枚举了a和i,当然我们也得到了b,那么再枚举k 就是求c,d
那么得://注:当前的***表示这个***是已知的,后面的***表示我们在枚举若干k后才得到的
当前a的方案种数=(当前魔法值等于b的魔法物品总量)*(后面得到的若干个c 的魔法物品总量)*(后面得到的若干个d 的魔法物品总量)
当前b的方案种数=(当前魔法值等于a的魔法物品总量)*(后面得到的若干个c 的魔法物品总量)*(后面得到的若干个d 的魔法物品总量)
因为要枚举k,每次枚举时把得到的c和d的乘积乘以b +到ans[a,1] ,以及把得到的c和d的乘积乘以a +到ans[b,2]里面 ,这就是后缀和啊,
那么复杂度是多少啊?O(n^2),还会炸?不会,因为这里的n指的是i ,即题目的n div 9;233333
那么怎么实现啊?
可以发现用前缀和和后缀和都要枚举 i 是吧,那我们外层循环就枚举i ,内层循环分别 a和d 并求前缀和以及后缀和就可以了
Q:还有范围呢?
A:。。。
i的话1 到 (n-1) div 9
d的话最小就是最小为(9*i+2),最大为n //a最小为1 ,k最小为1 d为a+9*i+k=9*i+2
a的话最大肯定是(n-9*i-1) ,最小为1 //k最小为1啊!!!Important
Q:为啥不用判断p[a]=0之类的。。。
A:因为等于0乘积也是0加起来等于没加啊
Codes:
1 program magic; 2 var 3 n,m,i,k,a,b,c,d,minad,sum:longint; 4 p,x:array[1..40000]of longint; 5 ans:array[1..15000,1..4]of longint; 6 begin 7 8 assign(input,'magic.in');reset(input); 9 assign(output,'magic.out');rewrite(output); 10 readln(n,m); 11 for i:= 1 to m do 12 begin 13 read(x[i]); 14 inc(p[x[i]]); 15 end; 16 17 for i:= 1 to (n-1) div 9 do //外层枚举c到d的距离 i 18 begin 19 minad:=1+9*i; //a到d的最小距离 20 sum:=0; 21 for d:= 9*i+2 to n do //枚举d 为什么顺着来呢?因为前缀和是从前往后的哇,枚举d就是为了求前缀和啊 22 begin 23 sum:=sum+p[d-minad]*p[d-minad+2*i]; //求a*b的前缀和,d-minad=a ,d-minad+2*i=b 24 c:=d-i; //此时的c , 注意i已经在外层枚举 25 inc(ans[d,4],sum*p[c]); //此时d的种数, 26 inc(ans[c,3],sum*p[d]); //此时c的种数 27 end; 28 sum:=0; 29 for a:= n-9*i-1 downto 1 do //枚举a 为什么downto呢?因为后缀和是从后往前的哇,枚举a就是为了求后缀和啊 30 begin 31 b:=a+2*i; 32 sum:=sum+p[a+minad]*p[a+minad-i]; //求c*d的后缀和 ,a+minad=d,a+minad-i=c 33 inc(ans[a,1],sum*p[b]); //此时a的种数 34 inc(ans[b,2],sum*p[a]); //此时b的种数 35 end; 36 end; 37 for i:=1 to m do 38 writeln(ans[x[i],1],' ',ans[x[i],2],' ',ans[x[i],3],' ',ans[x[i],4]); 39 close(input); 40 close(output); 41 end.