B-树小结汇总

  本文很多内容均来源于网络,经过修改,因来源众多,不一一指出

   当查找的文件较大,且存放在磁盘等直接存取设备中时,为了减少查找过程中对磁盘的读写次数,提高查找效率,基于直接存取设备的读写操作以"页"为单位的特征。
 1972年R.Bayer和E.M.McCreight提出了一种称之为B-树的多路平衡查找树。它适合在磁盘等直接存取设备上组织动态的查找表。

 

1、定义与特性

B-树是一种平衡的多路查找树,在文件系统中有所应用。主要用作文件的索引。

B-树结构特性:

      一棵m阶B-树,或为空树,或为满足下列特性的m叉树:(m≥3)

(1)根结点只有1个,关键字字数的范围[1,m-1],分支数量范围[2,m];

(2)除根以外的非叶结点,每个结点包含分支数范围[[m/2],m],关键字字数的范围是[[m/2]-1,m-1],其中[m/2]表示取大于m/2的最小整数;

(3)非叶结点是由叶结点分裂而来的,所以叶结点关键字个数也满足[[m/2]-1,m-1];

(4)所有的非终端结点包含信息:(n,P0,K1,P1,K2,P2,……,Kn,Pn),

    其中Ki为关键字,Pi为指向子树根结点的指针,并且Pi-1所指子树中的关键字均小于Ki,而Pi所指的关键字均大于Ki(i=1,2,……,n),n+1表示B-树的阶,n表示关键字个数,即[ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1;

(5)所有叶子结点都在同一层,并且指针域为空,具有如下性质:

  根据B-树定义,第一层为根有一个结点,至少两个分支,第二层至少2个结点,i≥3时,每一层至少有2乘以([m/2])的i-2次方个结点([m/2]表示取大于m/2的最小整数)。若m阶树中共有N个结点,那么可以推导出N必然满足N≥2*(([m/2])的h-1次方)-1 (h≥1),因此若查找成功,则高度h≤1+log[m/2](N+1)/2,h也是磁盘访问次数(h≥1),保证了查找算法的高效率。

 

从以上的定义特性可总结出如下结论:对于m阶B-树

1)树中每个结点最多含有m个孩子(m>=2);

2)除根结点和叶子结点外,其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子(其中ceil(x)是一个取上限的函数);

3)若根结点不是叶子结点,则至少有2个孩子(特殊情况:没有孩子的根结点,即根结点为叶子结点,整棵树只有一个根节点);

4)所有叶子结点都出现在同一层,叶子结点不包含任何关键字信息(叶子节点只是没有孩子和指向孩子的指针,这些节点也存在,也有元素)。

5)每个非终端结点中包含有n个关键字信息: (n,P0,K1,P1,K2,P2,......,Kn,Pn)。其中:

       a)   Ki (i=1...n)为关键字,且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。

       b)   Pi为指向子树根的接点,且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki,但都大于K(i-1)。

       c)   关键字的个数n必须满足: [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

6)每个结点能包含的关键字的个数有一个上界和下界。这些界可以称为B-树的相应结点的最小度数(内结点中结点最小孩子数目,即前面提到指针P的个数)的固定整数t>=2来表示

a).每个非根结点必须至少有t-1个关键字,每个非根的内结点至少有t个子女,即。如果树是非空的,则根结点至少包含一个关键字。

b).每个结点可包含至多2t-1个关键字,每个非根的内结点至多可有2t个子女。如果一个结点是满的,则它有2t-1个关键字.

c).综上根节点关键字的个数范围: [1, 2*t - 1],非根节点关键字的个数范围: [t-1, 2*t - 1]

下图给出了典型的3阶B-树

  B-树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小,根据磁盘驱动(disk drives)的不同,一般块的大小在1k~4k左右);这样树的深度降低了,这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存,很快访问到要查找的数据

 

以上定义特性均为网上资料综合而来,下面给出对于分支关键字个数以及度数的范围简要总结:

一个m阶B-树:

1).对于根节点,子树(孩子或者称为分支)个数取值范围[2,m],关键字个数范围[1,m-1]

2).对于内结点,分支数范围[ceil(m/2),m],关键字个数的范围是ceil(m/2)-1,m-1]

3).对于最小度数为t>=2的结点,根节点关键字的个数范围: [1, 2*t - 1],非根节点关键字的个数范围: [t-1, 2*t - 1],分支的个数范围:[t, 2*t]

     PS 关于最小度数的理解:个人理解为对于m阶B-树t=ceil(m/2)

 

B-树定义的结点

#define MAXM 10                /*定义B-树的最大的阶数*/
typedef int KeyType;           /*KeyType为关键字类型*/
typedef struct BTNode          /*B-树结点类型定义*/
{ 
    int keynum;                /*结点当前拥有的关键字的个数*/
    KeyType key[MAXM];         /*key[1..keynum]存放关键字,key[0]不用*/
    struct BTNode *parent;     /*双亲结点指针*/
    struct BTNode *ptr[MAXM];  /*孩子结点指针数组ptr[0..keynum]*/
}BTTree;

 

 

2.B-树复杂度与高度

它的高度是(这个是网上给的结果,与后面推导的结果有异议),而不是其它几种树的H=log2n,其中T为度数(每个节点包含的元素个数),即所谓的阶数,n为总元素个数或总关键字数。

上面B树高度的公式也可以进行推导得出,将每一层级的的元素个数加起来,比如度为T的节点,根为1个节点,第二层至少为2个节点,第三层至少为2t个节点,第四层至少为2t*t个节点。将所有最小节点相加,推导过程:n>=1+2t+2t*t+2t3+.....+2th-1=1+2t(1+t+t*t+t3+....+th-2)=1+2t*(th-1-1)/(t-1)>=1+2(t-1)*(th-1-1)/(t-1) |最后一个不等式推出的原因:t>=2

最后推出结果h<=logt((n+1)/2)+1

 

 

网上给的公式是   但是个人感觉推导并不严密,而且中间似乎有错误,结果我也没推出来和他们一样的 ,不知道什么缘故 如果笔者推算错误 希望指出

 

关于时间复杂度借用网上给出的过程不过都没有给出解释,其中M为设定的非叶子结点最多子树个数,N为关键字总数;所以B-树的性能总是等价于二分查找(与M值无关),也就没有B树平衡的问题;

 

2.基本操作

这里只给出插入删除操作,查找操作相对简单的多 这里不做解释

 1)B-树的插入操作(重点判断是否满足n<=m-1)

      a.利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到,则说明该关键字已经存在,直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。

      b.判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1若满足,则说明该结点还有空位置,直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足,说明该结点己没有空位置,需要把结点分裂成两个。

分裂的方法是:生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后,从中间位置把关键字(不包括中间位置的关键字)分成两部分左部分所含关键字放在旧结点中右部分所含关键字放在新结点中,中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过(m-1),则要再分裂,再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

 

 

 

 

 

 

2).B-树的删除操作(重点判断删除所在结点及其兄弟结点,父结点中n>ceil(m/2)-1n=ceil(m/2)-1,n<ceil(m/2)-1)

在B-树上删除关键字K的过程也可以分为两步完成

a.利用前述的B-树的查找算法找出该关键字所在的结点。然后根据 k所在结点是否为叶子结点有不同的处理方法。

b.若该结点为非叶结点,且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i],则可从指针son[i]所指的子树中找出最小关键字Y,代替key[i]的位置,然后在叶结点中删去Y因此,把在非叶结点删除关键字k的问题就变成了删除叶子结点中的关键字的问题了。

 

B-树叶结点上删除一个关键字的方法是

首先将要删除的关键字 k直接从该叶子结点中删除。然后根据不同情况分别作相应的处理,共有三种可能情况:

  a.如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=ceil(m/2),说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单,只需从该结点中直接删去关键字即可。

  b.如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于ceil(m/2)-1,说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义,需要调整。

   调整过程为:如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右(左)兄弟结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1。则可将右(左)兄弟结点中最小(大)关键字上移至双亲结点。而将双亲结点中小(大)于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中

   c.如果左右兄弟结点中没有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右(左)兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。这种情况比较复杂。需把要删除关键字的结点与其左(或右)兄弟结点以及双亲结点中分割二者的关键字合并成一个结点,即在删除关键字后,该结点中剩余的关键字加指针,加上双亲结点中的关键字Ki一起合并到Ai(即双亲结点指向该删除关键字结点的左(右)兄弟结点的指针)所指的兄弟结点中去。如果因此使双亲结点中关键字个数小于ceil(m/2)-1,则对此双亲结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。

总之,设所删关键字为非终端结点中的Ki,则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y代替Ki,然后在相应结点中删除Y。对任意关键字的删除都可以转化为对最下层关键字的删除。

 

如图示:

a被删关键字Ki所在结点的关键字数目不小于ceil(m/2),则只需从结点中删除Ki和相应指针Ai,树的其它部分不变

 

b、被删关键字Ki所在结点的关键字数目等于ceil(m/2)-1,则需调整。调整过程如上面所述。

 

c、被删关键字Ki所在结点和其相邻兄弟结点中的的关键字数目均等于ceil(m/2)-1,假设该结点有右兄弟,且其右兄弟结点地址由其双亲结点指针Ai所指。则在删除关键字之后,它所在结点的剩余关键字和指针,加上双亲结点中的关键字Ki一起,合并到Ai所指兄弟结点中(若无右兄弟,则合并到左兄弟结点中)。如果因此使双亲结点中的关键字数目少于ceil(m/2)-1,则依次类推.

 

posted on 2012-07-25 15:37  as_  阅读(18321)  评论(5编辑  收藏  举报

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