[HDU 3625]Examining the Rooms (第一类斯特林数)
[HDU 3625]Examining the Rooms (第一类斯特林数)
题面
有n个房间,每个房间有一个钥匙,钥匙等概率的出现在n个房间内,每个房间中只会出现且仅出现一个钥匙。你能炸开门k次,问你能进入所有房间的概率。特殊要求:不能炸1号房间的门。
T组询问
T<=2000,k<=n<=2000
分析
前置知识(如果你了解斯特林数,可以跳过)
圆排列:把n个元素排在一个圆周上,如果旋转之后两个圆周上的排列一样,那么这两个排列相同
第一类斯特林数S(n,m)表示把n个不同元素构成m个圆排列的方案数
由定义得S(n,0)=0,S(n,n)=1
第一类斯特林数有递推公式\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+(n-1) \times S(n-1,m)\)
证明:我们考虑把第n个元素放在什么位置。如果单独形成一个圆排列,则答案就是S(n-1,m-1).
如果插入到原来的m个圆排列中,那本质上就是在n-1个元素中选一个插到它后面去(定义“后面”为顺时针方向下一个数,定义为逆时针同理),有n-1种选法,答案就是(n-1)S(n-1,m)
这样我们就可以\(O(n^2)\)处理出S的值(用NTT可以更快,但这题不需要)
解答过程
第i个房间里的钥匙p[i]构成一个排列p,而通过打开某个房间的门拿到钥匙a,用钥匙a打开门,拿到钥匙b.....这样会构成许多个环。
那么问题就转化为n个元素组成<=k个环的排列数量。直接用第一类斯特林数的定义知\(\sum_{i=1}^k S(n,i)\)
不能炸一号门其实很简单,就是一号点不能单独为环 \(S(n-1,i-1)\)
\(ans=\frac{1}{n!}\sum_{i=1}^k (S(n,i)-S(n-1,i-1))\)
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 20
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fact[maxn+5];
ll S[maxn+5][maxn+5];
void ini(int n){
for(int i=0;i<=n;i++){
S[i][0]=0;
S[i][i]=1;
for(int j=1;j<i;j++){
S[i][j]=S[i-1][j-1]+(i-1)*S[i-1][j];
}
}
fact[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) fact[i]=fact[i-1]*i;
}
double calc(int n,int k){
long long ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++){
ans+=S[n][i]-S[n-1][i-1];
}
return 1.0*ans/fact[n];
}
int t,n,k;
int main(){
ini(maxn);
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d %d",&n,&k);
printf("%.4lf\n",calc(n,k));
}
}
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