院版每日一题(1) 快速寻找满足条件的两个数

能否快速找出一个数组中的两个数字，让这两个数字之和等于一个给定的值，

为了简化起见，我们假设这个数组中肯定存在至少一组符合要求的解。 
假如有如下的两个数组： 
5，6，1，4，7，9，8 
给定Sum= 10 
1，5，6，7，8，9 
给定Sum= 10

 

学长整理大答案（厉害死了）

解法一 
一个直接的解法就是穷举：从数组中任意取出两个数字，计算两者之和是否为
给定的数字。 
显然其时间复杂度为N（n-1）/2即O（N^2）。这个算法很简单，写起来也很容
易，但是效率不高。一般在程序设计里面，要尽可能降低算法的时间和空间复杂度，
所以需要继续寻找效率更高的解法。

解法二 
求两个数字之和，假设给定的和为Sum。一个变通的思路，就是对数组中的每个
数字arr[i]都判别Sum-arr[i]是否在数组中，这样，就变通成为一个查找的算法。 
在一个无序数组中查找一个数的复杂度是O（N），对于每个数字arr[i]，都需要
查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中，很容易得到时间复杂度还是O（N^2）。这和最
原始的方法相比没有改进。但是如果能够提高查找的效率，就能够提高整个算法的
效率。怎样提高查找的效率呢? 
学过编程的人都知道，提高查找效率通常可以先将要查找的数组排序，然后用
二分查找等方法进行查找，就可以将原来O（N）的查找时间缩短到O（log2N），这
样对于每个arr[i]，都要花O（log2N）去查找对应的Sum-arr[i]在不在数组中，总的时
间复杂度降低为N* log2N。当让将长度为N的数组进行排序本身也需要O（N*log2N）
的时间，好在只须要排序一次就够了，所以总的时间复杂度依然是O（N*log2N）。
这样，就改进了最原始的方法。 
到这里，有的读者可能会更进一步地想，先排序再二分查找固然可以将时间从O
（N^2）缩短到O（N*log2N），但是还有更快的查找方法：hash表。因为给定一个
数字，根据hash表映射查找另一个数字是否在数组中，只需要O（1）时间。这样的
话，总体的算法复杂度可以降低到O（N），但这种方法需要额外增加O（N）的hash
表存储空间。某些情况下，用空间换时间也不失为一个好方法。

解法三 
还可以换个角度来考虑问题，假设已经有了这个数组的任意两个元素之和的有
序数组（长为N^2）。那么利用二分查找法，只需用O（2*log2N）就可以解决这个
问题。当然不太可能去计算这个有序数组，因为它需要O（N^2）的时间。但这个思
考仍启发我们，可以直接对两个数字的和进行一个有序的遍历，从而降低算法的时
间复杂度。 
首先对数组进行排序，时间复杂度为（N*log2N）。 
然后令i = 0，j = n-1，看arr[i] + arr[j] 是否等于Sum，如果是，则结束。如果小于
Sum，则i = i + 1；如果大于大于Sum，则 j = j – 1。这样只需要在排好序的数组上遍
历一次，就可以得到最后的结果，时间复杂度为O（N）。两步加起来总的时间复杂
度O（N*log2N），下面这个程序就利用了这个思想，代码如下所示:

然后由猛犸也钻地大神提供的代码： 

 
pair<int,int> gao(int n, int a[], int x){ 
if(!is_sorted(a, a + n)) sort(a, a + n); 
for(int i = 0, j = n - 1; i < n; i++){ 
    while(a[i] + a[j] > x && j > 0) j--; 
    if(a[i] + a[j] == x) return {i, j}; 
} 
return NO_SOLUTION; 
} 

 

 

刚开始一直无法理解这样一定可以找到这个和吗？难道不会漏掉了解的位置。可
以这么理解，假如排好序后的数组为1,3,6,a,9,12,17,28,b,35,46 ,那么i最初指向1的位
置，j最初指向46的位置，比如所求的是Sum=a+b，a<b，a和b在数组中的某位置上。
那么i和j在变化过程中，只考虑i遇到了a或者j遇到了b的时候，必定有一个先遇到，
比如i遇到了a，那么这个时候j必定还没指到b，故这是j指到的值比b大，从而j减小直
到b位置。同理若j先指到了b位置，那么i必定还没指到a(这是我们的前提)，然后i现
在指到的值比a小，故i增加，直到a位置。

扩展问题 
1、如果把这个问题中的“两个数字”改成“三个数字”或“任意个数字”时，你的解是什
么呢？ 
三个数字：首先还是先对数组进行排序，然后从 i=0到 n-1 进行遍历，遍历arr[i]时，在
调用上面的函数getSumNum(arr , Sum-arr[i])即可。 
任意m个数字的想法： 
首先数组排序，然后从 i=0到n-1 个元素遍历，遍历arr[i]时，在剩下的n-1个元素中调
用 getSumNum(arr,Sum-arr[i])，此时为求 m-1 个元素和为 Sum-arr[i]；接下来，同样的方法,

从 j=0 到 n-2 个元素遍历，遍历 arr[j]时在 arr 上递归调用 getSumNum(arr,Sum-arr[i]-arr[j])，
此时为求 m-2 个元素和为 Sum-arr[i]-arr[j]；依次递归，直到为求 2 个元素和为 Sum-?-?-?...
时为止。 
不论是求 3 个数字还好是 m 个数字，总是能比较穷举法少一个数量级 n，比先排序然
后二分查找求Sum-arr[i]也要快。