线性代数笔记6——直线和曲线的参数方程
什么是参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。
例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线（例如摆线），建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，有了参数方程，就可以很容易表达。
直线
空间中的直线
空间中两个平面的交集是一条直线，如果抛开平面，直线可以看作是点匀速直线运动的轨迹。
通过两点确定一条直线，此外，已知一点和与直线平行的向量也能确定一条直线。
直线的参数方程
一个点在空间中匀速直线运动，它在t = 0和t = 1时刻经过Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3, -1)两点，Q(t)是该点关于时间t的函数：
如上图所示，点在t = 0时刻的位置Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2)，t = 1时刻的位置Q1 = Q(1) = (1, 3, -1)，那么在任意t时刻，Q的位置Q(t)是哪里？
现在将问题转换为向量：
由于是匀速运动，所以运动距离与时间成正比：
随着时间的增长，向量也将增长。由于Q(t)是空间内的点，所以：
这就是该直线的参数方程，其来源是Q0Q(t) = tQ0Q1
如果t = 2，则在该时刻Q(2) = (3, 5, -4)
参数方程的几何解释
我们已经知道了直线参数方程的形式，现在看一下它的几何解释。
如果二维空间内有两个点(2,1)和(0,2)，那么经过这两点的直线方程是什么？
初中的知识可以告诉我们，斜率是k = (y2 – y1)/(x2 – x1)。现在使用向量和参数方程来理解这个问题。假设在二维空间内有两个向量a<2,1>和b<0,2>，如下图所示：
一个不太准确的说法是，将b-a的两端延长，就是所求的直线，只要能够恰当地表示这条直线就好了。由于向量表示的大小和方向的量，与位置无关，所以可以将b-a平移：
现在使用平移后的b-a，它与b的线性组合就可以表示所求直线（向量终点站直线上）：
将b-a的倍数设为t，那么直线可以表示为：
转换成x，y的参数方程，x = -2t, y = 2 + t
直线与平面的关系
上面的两个点Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3, -1)对于平面x + 2y + 4z = 7来说，位置关系是什么？在平面的两侧还是一侧？是否在平面上？
将Q0和Q1代入平面方程：
由此可见Q0和Q1不在平面上，它们分属于平面两侧，向量Q0Q1将穿过平面，与平面有唯一的交点，这个交点又是什么？
上节已经求得了直线的参数方程Q(t) = (2t-1, t+2, -3t+2)，直线与平面的交点将满足：
将直线参数方程代入平面方程也可能出现有无数解或无解的情况，此时直线与平面没有唯一交点，直线可能在平面上或与平面平行。
总结一下，把直线方程Q(t) = (x(t), y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c = d，如果能计算出t的唯一值，直线穿过平面；如果得到一个等于d的常数，则直线在平面上；如果得到一个不等于d的常数，则直线与平面平行。
曲线
对于平面或空间内的任意运动，同样可以用参数方程表示。
摆线的参数方程
摆线是一种有名的曲线，它描述了当车辆匀速直线运动时，车轮上点的运动轨迹。如下图所示，P是半径为a的车轮边缘上的一点，刚开始时在原点，当车轮向右滚动后，P点将随之转动：
我们关注的问题是车轮滚动后P的轨迹，也就是t时刻P点的位置。如果P点是位置关于时间的函数，用参数方程可以表示为Q(t) = (x(t), y(t))。这意味着从时间的角度来表示位置，然而时间并非最好的参变量，因为P的轨迹是与时间无关的，即使车速变快，P的运动轨迹也不会改变。我们注意到，当车轮匀速运动时，P的角度和时间成正比：
∠θ和运动时间成正比，如果θ超过2π，则相当于开始了一个新的周期，对于角度的运算，3π和π是相同的。由此，可以将时间替换为角度，也就是使用车轮转动角度做参变量将得到更简单的答案：
将车轮转换为上图所示的向量(向量可参考《线性代数笔记2——向量（向量简介）》)，则向量OP的参数方程就可以表示P点的运动轨迹。
由于车轮是沿着地面转动，且最初P的位置与O相同，所以在第一圈时，OA = PA的弧长（我承认在画图时比较随意，看起来它们并不相等）：
实际上，无论第几圈，上式都成立。由于已经知道了OA和AB的长度，可以得出相应的向量：
现在只需要求出向量BP即可。这里并不需要知道点B和点P的坐标，由于向量只描述了大小和方向，所以向量和具体位置无关，因此可以通过将向量BP平移求得BP：
最终：
摆线的斜率
在车轮滚动一圈后，点P回到x轴，开始进入下一个周期，两个周期相交于一点。有一个值得关注的问题是，如果在该点处作轨迹曲线的切线，切线的斜率是什么？如下图所示，就是计算P5处轨迹曲线的切线：
为了简化问题，将当车轮看作单位圆，此时a = 1，
在P5处，θ=2π，斜率：
此时没有意义，但可以计算极限：
因此，在P5处，斜率趋近于∞，也就是有一条垂直于x轴的切线。
也可以使用泰勒展开式计算斜率（泰勒级数可参考《数学笔记31——幂级数和泰勒级数》)：
示例
示例1
两条直线L1和L2是否相交，如果相交，其交点是什么？
可以用以往的知识将参数方程转换为普通方程：
方程组有唯一解，x = 1, y = 2，两条直线相交于(1, 2)
也可以直接用参数方程求解。如果两条直线相交，参数方程组有唯一解：
将解代入参数方程：
两条直线相交于(1, 2)
示例2
直线L经过P(0, -1, 1)和Q(2, 3, 3)两点，直线与平面2x + y – z = 1的关系？
设直线方程是L(x(t), y(t), z(t))，则：
将L的参数方程代入平面方程：
t有唯一解，指向与平面相交。将t代入直线的参数方程，交点是(1, 1, 2)
出处：微信公众号 "我是8位的"
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