单变量微积分笔记11——微分和不定积分
微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。
微分
什么是微分
如果对于函数y=f(x)，存在dy=f’(x)dx，称dy是y的微分或f(x)的微分。
如果换一种写法：
这实际上就是莱布尼茨对于导数的记法，它和导数表达了同一个意思。
重新审视导数的含义，其公式：
导数表示的是两个无穷小量的比，dy和dx就是这两个无穷小量：
过去我们把dy和dx叫做Δy和Δx，实际上它们不是一回事，Δx是一个实实在在的数量，dx是一个概念，是Δx→0的函数表达式，可以把dx看作一个符号，就是微分符号。
用微分求解近似值
示例：64.11/3≈?
设y = x1/3，当x = 64时，y = 4，x + dx = 64.1，dx = 0.1，代入微分公式：
微分法与线性近似的对比
示例也可以用线性近似法求解。设f(x) = x1/3，x0 = 64
根据线性近似公式：
两种方法的结果相同。结合线性近似公式和微分公式：
实际上线性近似是微分的一种应用。
示例
示例1，d(7x9 + 34 – 5u-3) = ?
根据导数的加法法则，
d(7x9 + 34 – 5u-3) = d(7x9) + d(34) – d(5u-3) = 7×9x8dx + 0 – 5×(-3)x-4dx = 63x8dx + 15x4dx
示例2，d(sinθcosθ) = ?
根据导数的乘法法则，
d(sinθcosθ) = (dsinθ)cosθ + sinθdcosθ = (cos2θ-sin2θ)dθ
示例3，
不定积分
什么是不定积分
上面的式子就是不定积分表达式，称作g(x)dx的不定积分，其中G(x)的导数是g(x)，即G(x)是g(x)的反导数。g(x)的反导数又叫做g的不定积分，∫就是积分符号。
示例1，∫sinxdx
求解sinxdx的不定积分，实际上是求解谁的导数是sinx。如果G(x)=-cosx，则G’(x)=sinx，所以∫sinxdx = -cosx + C，其中C是一个常数，之所以叫不定积分，就是因为有了这个常数。∫sinxdx是不定的，因为我们并没有给出一个确定的函数。
示例2，∫xadx
示例3，∫dx/x
不定积分的唯一性
不定积分的唯一性：如果f’(x)=g’(x)，则f(x) = g(x) + c
以下给出证明：
设F=f(x)，G=g(x)，如果f’(x)=g’(x)，则(F – G)’ = F’ – G’ = 0
常数的导数是0，所以F-G是一个常数，即f(x) – g(x) = c => f(x) = g(x) + c，证毕。
唯一性也是不定积分成立的基础。
求解不定积分
不定积分的求解远比求导困难的多，很多时候甚至发现根本无法求解，这里仅记录两种最常用的求解方法：换元法和猜测法。
换元法
示例1，∫x3(x4+2)5dx
这个不能一眼看出答案了，使用一种称为换元法的方法求解。
猜测法
做过大量练习后就可以使用猜测法直接猜测不定积分的结果，这应该成为首先尝试的求解方法。
示例1，
这个例子在换元法中出现过，现在使用猜测法求解。
示例2，∫e6xdx
示例3 
示例4，∫sinxcosxdx
猜测sin2x => dsin2x = 2sinxcosxdx => ∫sinxcosxdx = sin2x/2 + C1
∫sinxcosxdx的另一个答案是 -cos2x/2 + C2
如果将两个答案相减，得到(sin2x+ cos2x)/2 + (C1 - C2) = 1/2 + (C1 - C2) = C，两个函数的相减的结果是一个常数，即这两个函数是同族函数。
综合示例
示例1，d(7x9 + 34 – 5u-3) = ?
根据导数的加法法则，
d(7x9 + 34 – 5u-3) = d(7x9) + d(34) – d(5u-3) = 7×9x8dx + 0 – 5×(-3)x-4dx = 63x8dx + 15x4dx
示例2，d(sinθcosθ) = ?
根据导数的乘法法则，
d(sinθcosθ) = (dsinθ)cosθ + sinθdcosθ = (cos2θ-sin2θ)dθ
示例3，
示例4，
示例5，∫e2xcos(1-e2x)dx
使用换元法，令u = (1-e2x)， du = -2 e2xdx
∫e2xcos(1-e2x)dx =∫cos(1-e2x) e2xdx =∫u (-1/2)du = -sinu/2 + C = -sin (1-e2x)/2 + C
示例6，∫4x(5x2-1)1/3dx
这个又要靠猜测法了，猜的(5x2-1)1/3的反导数。
d(5x2-1)4/3 = (4/3) (5x2-1)1/3(10x)dx = (40/3)x(5x2-1)1/3dx，与目标很相似
∫4x(5x2-1)1/3dx = (3/10)(5x2-1)4/3 + C
示例7，∫tanxdx
∫tanxdx = ∫(sinx/cosx)dx
使用换元法，令u = cosx， du = -sinxdx
∫(sinx/cosx)dx = ∫-du/u = -ln|u| + C = -ln|cosx| + C
积分表
以下是25个基本不定积分公式：
总结
1.微分表达式：dy = f’(x)dx
2.不定积分表达式：G(x) = ∫g(x)dx
3.不定积分的唯一性：如果f’(x)=g’(x)，则f(x) = g(x) + c
4.用换元法和猜测法求解不定积分
出处：微信公众号 "我是8位的"
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