单变量微积分笔记10——拉格朗日中值定理

什么是拉格朗日中值定理

　　如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，你的速度必定会达到平均速度100公里/小时。

　　上述问题转换成数学语言：f(x)是距离关于时间的函数，那么一定存在：

　　f’(c)就是c时刻的瞬时速度。前提条件是f(x)在[a, b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，且 a < c < b。这就是拉格朗日中值定理的通俗定义。

　　中值定理的几何意义如下图所示：

　　在曲线的两点间做一条割线，割线的斜率就是(f(b)-f(a))/(b-a)， f’(c)是与割线平行的一条切线，与曲线相切于c点。

　　需要注意的是中值定理的前提条件，下面的曲线不满足中值定理：

　　函数虽然是连续的，但在x=c点处不可导，中值定理要求函数在定义域范围内全部可导。

推论

1. 如果f’>0，则f递增
2. 如果f’<0，则f递减
3. 如果f’=0，则f是常数

　　其中1，2在数学笔记7——曲线构图中使用过，在讨论函数凹凸性时运用了这两个结论。现在用中值定理给出推论的证明。

 

　　证明推论1：

　　中值定理公式：

　　由于b>a，f’>0，所以f(b)-f(a)>0，f(b)>f(a)，故f递增。

　　推论2，3的证明与1类似。

示例

示例1：e^x > 1+x

　　证明当x > 0时，e^x >1+x

　　令f(x) = e^x – (1 + x)，f’(x) = e^x – 1

　　f’(x)单调递增，f’(0) = 0

　　∴ x > 0 时，f’(x) > 0，f(x) = e^x – (1 + x)递增

　　∵ f(0) = 0，f(x)在x > 0上递增

　　∴ e^x > 1 + x

示例2：e^x > 1+x+x²/2

　　证明当x > 0时，e^x >1+x+x²/2

　　令f(x) = e^x – (1 + x + x²/2)，f’(x) = e^x – (1 + x)

　　示例1已经证明f’(x) > 0， 所以f(x)是递增的

　　f(0) = 0， x>0时，f(x) > 1，e^x >1+x+x²/2

示例3：tanx > x

　　证明当0 < x < π/2时，tanx > x

　　设f(x) = tanx，f’(x)=sec²x根据中值定理：

　　f(b) = f(a) + f’(c)(b – a)， a < c < b

　　令 a = 0, x = b <π/2

　　f(x) = f(0) + f’(c)(x – 0) = xsec²c = tanx

　　当 0 < c <π/2时，sec²c = 1/cos²c > 1

　　∴ tanx > x

 

　　也可以令f(x) = tanx – x, f’(x) = sec²x – 1 > 0 => f(x)在定义域内递增，tanx > x

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