CTR预估中的贝叶斯平滑方法（二）参数估计和代码实现

1. 前言

前面博客介绍了CTR预估中的贝叶斯平滑方法的原理http://www.cnblogs.com/bentuwuying/p/6389222.html。

这篇博客主要是介绍如何对贝叶斯平滑的参数进行估计，以及具体的代码实现。

首先，我们回顾一下前文中介绍的似然函数，也就是我们需要进行最大化的目标函数：

下面我们就基于这个目标函数介绍怎样估计参数。

 

2. 参数估计的几种方法

1. 矩估计

矩估计在这里有点乱入的意思：），因为它其实不是用来最大化似然函数的，而是直接进行参数的近似估计。

矩估计的方法要追溯到19世纪的Karl Pearson，是基于一种简单的 “替换” 思想建立起来的一种估计方法。 其基本思想是用样本矩估计总体矩. 由大数定理，如果未知参数和总体的某个(些)矩有关系，我们可以很自然地来构造未知参数的估计。具体计算步骤如下：

1）根据给出的概率密度函数，计算总体的原点矩（如果只有一个参数只要计算一阶原点矩，如果有两个参数要计算一阶和二阶）。由于有参数这里得到的都是带有参数的式子。比如，有两个参数时，需要先计算出：期望  ; 方差  。在Beta分布中，可以计算得到，E(x) = α / (α+β)，D(x) = αβ / (α+β)²(α+β+1)。

2）根据给出的样本，按照计算样本的原点矩。通常它的均值mean用  表示，方差var用  表示。（另外提一句，求时，通常用n-1为底。这样是想让结果跟接近总体的方差，又称为无偏估计）

3）让总体的原点矩与样本的原点矩相等，解出参数。所得结果即为参数的矩估计值。这里有，mean = E(x) = α / (α+β)，var = D(x) = αβ / (α+β)²(α+β+1)。于是乎，我们可以求得α，β：

α = [mean*(1-mean)/var - 1] * mean

β = [mean*(1-mean)/var - 1] * (1-mean)

 

2. Fixed-point iteration

首先构造出似然函数，然后利用Fixed-point iteration来求得似然函数的最大值。

1）首先给出参数的一个初始值（通常可以使用矩估计得到的结果作为初始值）。

2）在初始值处，构造似然函数的一个紧的下界函数。这个下界函数可以求得其最大值处的闭式解，将此解作为新的估计用于下一次迭代中。

3）不断重复上述（2）的步骤，直至收敛。此时便可到达似然函数的stationary point。如果似然函数是convex的，那么此时就是唯一的最优解。

其实Fixed-point iteration的思想与EM类似。

首先给出两个不等式关系：

1）

2）

由此可以得到对数似然函数的一个下界：

 

想要得到此下界函数的最大值，可以分别对α，β求偏导，并令之等于零，此时便得到α和β各自的迭代公式：

 由此，每次迭代，参数都会达到此次下界函数的最大值处，同时也就使得对应的似然函数值也相应地不断增大，直至收敛到似然函数的最大值处。

 

3. EM

通过将概率参数作为隐含变量，任何估计概率参数的算法都可以使用EM进一步变成估计个数参数的算法。

（1）E-step：计算出隐含变量p在已观测数据（观测到的每个类别发生的次数，以及每个类别的超参数值的上一轮迭代的取值）下的后验分布，便可以得到完全数据的对数似然函数的期望值。

（2）M-step：对E-step中的期望值求最大值，便可得到相应的超参数的本轮迭代的更新值。

（3）不断重复地运行E-step和M-step，直至收敛。

回来我们这里的问题上，在有了观测到的每个类别发生的次数，以及每个类别的超参数值的上一轮迭代的取值后，隐含变量p的后验分布为：

而此时的完全数据的对数似然函数的期望为：

其中，

于是乎，我们可以对完全数据的对数似然函数的期望求最大值，从而得到α，β的更新值，有很多方法，直接求偏导，梯度下降，牛顿法等。

但是呢，此时我们并不需要非常精确地求得它的最大值，而是仅仅用牛顿法迭代一次。相比于精确地求得最大值，这种方法在每次迭代时只有一半的计算量，但是迭代次数会超过两倍。

牛顿法的迭代可见：

 

3. 代码实现

#!/usr/bin/python
# coding=utf-8

import numpy
import random
import scipy.special as special
import math
from math import log


class HyperParam(object):
    def __init__(self, alpha, beta):
        self.alpha = alpha
        self.beta = beta

    def sample_from_beta(self, alpha, beta, num, imp_upperbound):
        sample = numpy.random.beta(alpha, beta, num)
        I = []
        C = []
        for click_ratio in sample:
            imp = random.random() * imp_upperbound
            #imp = imp_upperbound
            click = imp * click_ratio
            I.append(imp)
            C.append(click)
        return I, C

    def update_from_data_by_FPI(self, tries, success, iter_num, epsilon):
        '''estimate alpha, beta using fixed point iteration'''
        for i in range(iter_num):
            new_alpha, new_beta = self.__fixed_point_iteration(tries, success, self.alpha, self.beta)
            if abs(new_alpha-self.alpha)<epsilon and abs(new_beta-self.beta)<epsilon:
                break
            self.alpha = new_alpha
            self.beta = new_beta

    def __fixed_point_iteration(self, tries, success, alpha, beta):
        '''fixed point iteration'''
        sumfenzialpha = 0.0
        sumfenzibeta = 0.0
        sumfenmu = 0.0
        for i in range(len(tries)):
            sumfenzialpha += (special.digamma(success[i]+alpha) - special.digamma(alpha))
            sumfenzibeta += (special.digamma(tries[i]-success[i]+beta) - special.digamma(beta))
            sumfenmu += (special.digamma(tries[i]+alpha+beta) - special.digamma(alpha+beta))

        return alpha*(sumfenzialpha/sumfenmu), beta*(sumfenzibeta/sumfenmu)

    def update_from_data_by_moment(self, tries, success):
        '''estimate alpha, beta using moment estimation'''
        mean, var = self.__compute_moment(tries, success)
        #print 'mean and variance: ', mean, var
        #self.alpha = mean*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
        self.alpha = (mean+0.000001) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)
        #self.beta = (1-mean)*(mean*(1-mean)/(var+0.000001)-1)
        self.beta = (1.000001 - mean) * ((mean+0.000001) * (1.000001 - mean) / (var+0.000001) - 1)

    def __compute_moment(self, tries, success):
        '''moment estimation'''
        ctr_list = []
        var = 0.0
        for i in range(len(tries)):
            ctr_list.append(float(success[i])/tries[i])
        mean = sum(ctr_list)/len(ctr_list)
        for ctr in ctr_list:
            var += pow(ctr-mean, 2)

        return mean, var/(len(ctr_list)-1)



def test():
    hyper = HyperParam(1, 1)
    #--------sample training data--------
    I, C = hyper.sample_from_beta(10, 1000, 10000, 1000)
    print I, C

    #--------estimate parameter using fixed-point iteration--------
    hyper.update_from_data_by_FPI(I, C, 1000, 0.00000001)
    print hyper.alpha, hyper.beta

    #--------estimate parameter using moment estimation--------
    hyper.update_from_data_by_moment(I, C)
    print hyper.alpha, hyper.beta

 

4. 参考文献

1. Click-Through Rate Estimation for Rare Events in Online Advertising

2. Estimating a Dirichlet distribution

 

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