DFA的最小化

等价状态

DFA上的等价状态，即两个状态的效果是等过的。假设如果有p，q两个状态，对于任意的串w，$\delta(p,w)是接受状态， 当且仅当\delta(q,w)$，则称状态p和状态q是等价状态。

与等价状态相反的状态是可区分状态

判定可区分状态的算法

基础：如果p是接受状态，而q是非接受状态，则状态p和q是可区分的。

归纳：设p和q是满足下列条件的状态：对于某个输入符号$a \in \sum$，$r = \delta(p,a) 和 s = \delta(q,a)$是已知的可区分状态。则p和q也是可区分的状态对。

这是因为r和s是可区分状态，所以存在某个串w使得$\delta(r,w) 和\delta(s,w)$恰有一个是接受状态。 于是串aw一定区分p和q，因为$\delta(p,aw) 和 \delta(q,aw) 与 \delta(r,w)和\delta(s,w)$是相同的状态对。

 

所以初始时知道接受状态和非接受状态是可区分的状态，然后对于所有的$a \in \sum$，不断去测试状态集合中的状态，如果状态是可区分的，则分裂状态集合。

直到状态集合不再分裂为止。