杜教筛学习笔记
杜教筛的作用是可以快速求出积性函数的前缀和，相比于传统的线性筛，杜教筛可以在\(O(n^{2/3})\)的时间求出积性函数的前缀和。
PS：一下所有除法运算为向下取整（不知道向下取整的LaTex）
前置芝士1：积性函数
什么是积性函数呢？若a⊥b（a,b互质），那么有\(f(ab)=f(a)f(b)\) 则称\(f(x)\)的积性函数。
前置芝士2：狄利克雷卷积
定义两个积性函数的狄利克雷卷积为\((f*g)(i)=\sum_{d|n}f(d)\)*$g(\frac{d}{n}) $
给出几个常见的狄利克雷卷积的结论
(\(I(x)=1,id(x)=x,\epsilon(x)=[x==1]\))
1.\(\mu*I=\epsilon\)
证明：\(\mu*I=\sum_{d|n}\mu(d)*I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]=\epsilon\)
倒数第二步是莫比乌斯函数的一个结论
2.\(φ*I=id(n)\)
证明：\(φ*I=\sum_{d|n}φ(d)*I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}φ(d)=n=id(n)\)
对于倒数第二步，考虑统计与\(n\)的\(gcd\)分别为\(1,2,...,n\)的过程：
对于\(1-n\)所有数，与\(n\)的\(gcd\)为\(1\)的有\(φ(n)\)个；若\(2|n\)，则与\(n\)的\(gcd\)为2有\(φ(\frac{n}{2})\)个……以此类推，总共有\(n\)个数，故\(\sum_{d|n}φ(d)=n\)
3.\(id*\mu=φ(n)\)
证明：
\(φ(n)*I*\mu=id*\mu\)----------结论2可知
\(φ(n)*\epsilon=id*\mu\)-------------结论1可知
\(φ(n)=id*\mu\)----------------把卷积拆开即可
前置芝士3：莫比乌斯反演
若\(f=g*I\)，则有\(g=f*\mu\)
我们把卷积拆开
原式为：若\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\)，则有\(g(n)=\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})*\mu(d)\)
证明：\(f*\mu=g*I*\mu=g*\epsilon=g\)
所以\(1\)的逆是\(\mu\)
正文：杜教筛
我们构造积性函数f,g，令\(S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\)
\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})=\sum_{i=1}^{n}g(i)*\sum_{j=1}^{[\frac{n}{i}]}f(j)=\sum_{i=1}^{n}g(i)*S(\frac{n}{i})\)
移向得：\(g(1)*S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)*S(\frac{n}{i})\)
\(S(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)*S(\frac{n}{i})}{g(1)}\)//以后称此为杜教筛公式
我们发现，S(n)是我们所求，我们把S(n)拆成了递归形式，假设我们可以求出\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\)，\(g(x)\)，我们就可以对\(\sum_{i=2}^{n}g(i)*S(\frac{n}{i})\)进行整除分块，从而递归求出\(S(N)\)！
看懂了上述证明，那本题就很简单了吧。
一：\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)
因为\(\mu*I=\epsilon\) ，所以我们定义\(g=I\)，带入杜教筛公式得\(S(n)=1-\sum_{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})\)，然后就是整除分块的模板了
二：\(\sum_{i=1}^{n}φ(i)\)
因为\(φ*I=id(n)\)（其实也可以用\(φ(n)=id*\mu\)），所以我们还是定义\(g=I\)，带入杜教筛公式得\(S(n)=\frac{(1+x)*x}{2}-\sum_{i=2}^{n}S(\frac{n}{i})\)，然后发现和上面区别并不大
这样直接求显然是不能做到非线性的，所以我们需要先预处理出一部分的\(φ(i),\mu(i)\)，然后对于我们处理过的答案，我们可以用一个map来存储（相当于记忆化搜索）以优化时间复杂度。
经过理论证明，当预处理的值=\(n^{\frac{2}{3}}\)时，时间复杂度为\(O(n^{\frac{2}{3}})\)
注意几点：
1.本题卡常，所以不要全部开longlong，也不要用map，而用c++11的STL：unordered_map（少了map的排序，复杂度不带log，但常数仍然很大，而且本地要开c++11才能过编译）
2.注意杜教筛的公式，\(\sum_{i=2}^{n}g(i)*S(\frac{n}{i})\)是从2开始的，不然会进入死递归（我也不知道叫什么）
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define ll long long
#define mod 1000000007
il int read()
{
re int x=0,f=1;re char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
#define maxn 5000000
ll pai[maxn+5];
int prim[maxn+5],cnt,mu[maxn+5];
bool vis[maxn+5];
unordered_map<int,int> ans_mu;
unordered_map<int,ll> ans_pai;
il void init()
{
mu[1]=pai[1]=1;
for(re int i=2;i<=maxn;++i)
{
if(!vis[i]) prim[++cnt]=i,mu[i]=-1,pai[i]=i-1;
for(re int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=maxn;++j)
{
vis[prim[j]*i]=1;
if(i%prim[j]==0)
{
pai[i*prim[j]]=pai[i]*prim[j];
break;
}
pai[i*prim[j]]=pai[prim[j]]*pai[i];
mu[i*prim[j]]=-mu[i];
}
}
for(re int i=1;i<=maxn;++i) mu[i]+=mu[i-1],pai[i]+=pai[i-1];
}
il ll get_pai(ll x)
{
if(x<=maxn) return pai[x];
if(ans_pai[x]) return ans_pai[x];
ll ans=((1ll+x)*x)/2ll;
for(re int l=2,r;l<=x;l=r+1)//其实这里可能会爆int，可以改用用unsigned int
{
r=x/(x/l);
ans-=1ll*(r-l+1)*get_pai(x/l);
}
return ans_pai[x]=ans;
}
il int get_mu(int x)
{
if(x<=maxn) return mu[x];
if(ans_mu[x]) return ans_mu[x];
int ans=1;
for(re int l=2,r;l<=x;l=r+1)
{
r=x/(x/l);
ans-=(r-l+1)*get_mu(x/l);
}
return ans_mu[x]=ans;
}
il void doit()
{
int T=read();
while(T--)
{
int x=read();
printf("%lld %d\n",get_pai(x),get_mu(x));
}
}
signed main()
{
init(),doit();
return 0;
}
