算法导论第六章堆排序（一）
现在来看， 堆的含义大概有两种，一种是数据结构，一种是在一些语言中所定义的“垃圾回收机制”，如Java，在书本上的开篇强调了这两者，并强调若非特殊说明，皆把堆看做是一种数据结构。
（二叉）堆的定义：
1）它是一个数组，可以被看成是一棵近似的完全二叉树，树上的每一个节点看做是数组中的每一个元素。
2）堆分为最大堆和最小堆，最大堆中每一棵子树的父节点的值大于孩子节点，最小堆则相反。
3）表示堆的数组A包括两个属性：A.length和A.heap_size。前者是数组元素的个数，后者是堆元素的个数，heap_size <= length。（怎么理解这里，想象一棵树的节点在减少，但其表示的数组的个数还是不变的）。
4）二叉堆是最常用的，除此之外，还有多叉堆，如习题6-2的d-叉堆。
5）已知一个节点的坐标，容易得到其父节点和孩子节点的坐标：PARENT(i) = i/2; LEFT(i) = 2*i; RIGHT(i)=2*i+1。
由于二叉堆可以看做是一棵完全二叉树，所以树的一些定理，结论可以应用到堆上，如高度为h的堆中元素个数最多为：2^h，最少为：2^(h+1) - 1; 含n个元素的堆高度为：lgn。
堆排序：
为了实现堆排序，需要有这样的几个过程：
1）Build_Max_Heap():建立最大堆，将无序的输入数组构造出一个最大堆；
2）Max_Heapify():维护一个最大堆，即保证满足最大堆的性质；
3）Heap_Sort():堆排序。
以上函数的思路也是比较简单，在此就不做过多记录，即便记录，也是照着书本上的流程来一遍。
首先，Max_Heapify()是一个很关键的函数，它要保证堆中元素在以后的操作过程中，不管怎么变，都要保证满足最大堆的性质，即父节点的值永远大于孩子节点，知道了这一点，就不难写出代码：
函数原型：Max_Heapify( int A[], /* int heap_size, */ int index )
1 void MaxHeapify_Recur(int arr[], int heap_size, int index) 2 { 3 if (index <=0 && index >= heap_size) 4 return; 5 6 int left = LEFT(index); 7 int right = RIGHT(index); 8 int largest; 9 10 if (left < heap_size && arr[left] > arr[index]) 11 largest = left; 12 else 13 largest = index; 14 15 if (right < heap_size && arr[right] > arr[largest]) 16 largest = right; 17 18 if (largest != index) { 19 Swap(arr[index], arr[largest]); 20 MaxHeapify_Recur(arr, heap_size, largest); 21 } 22 }
上面实现的是一个递归的版本，也是书本上的版本，同时习题6.2-5要求实现非递归的版本，其实改动很小，只需加入一个标识符即可，实现如下：
1 void MaxHeapify(int arr[], int heap_size, int index) 2 { 3 if (index < 0 && index >= heap_size) 4 return; 5 6 bool isHeapify = true; //±êʶ×î´ó¶ÑÊÇ·ñ´¦ÀíÍê 7 while (isHeapify && index < heap_size) { 8 int left = LEFT(index); 9 int right = RIGHT(index); 10 int largest; 11 12 if (left < heap_size && arr[left] > arr[index]) 13 largest = left; 14 else 15 largest = index; 16 17 if (right < heap_size && arr[right] > arr[largest]) 18 largest = right; 19 20 if (largest != index) { 21 Swap(arr[index], arr[largest]); 22 index = largest; 23 } 24 else 25 isHeapify = false; 26 } 27 }
其次，Build_Max_Heap()的实现需要知道下面一条定理( 习题6.1-7 ) :
当用数组表示存储n个元素的堆时，叶节点下标分别是n/2+1, n/2+2, ..., n (结合树高度的性质，很好证明).
知道了这个定理，为了建立最大堆，我们就可以从第一个非叶子节点开始往后遍历，直到根节点，调用Max_Heapify()来得到一个最大堆，实现如下：
函数原型：Build_Max_Heap( int A[], /* int heap_size, */ )
1 void BuildMaxHeap(int arr[], int heap_size) 2 { 3 if (heap_size == 0) 4 return; 5 6 for (int i = (heap_size-1)/2; i >= 0; i--) 7 MaxHeapify(arr, heap_size, i); 8 }
至此，排序思路也就出来了：先建立最大堆，得到最大元素，然后将最大元素放在数组末尾，然后调用Max_Heapify()维护最大堆，依次下去，就得到排序的数组，实现如下：
函数原型：Heap_Sort( int A[], /* int heap_size, */ )
1 void HeapSort(int arr[], int length) 2 { 3 if (length == 0) 4 return; 5 6 int heap_size = length; 7 BuildMaxHeap(arr, heap_size); 8 for (int i = length-1; i >= 1; i --) { 9 Swap(arr[0], arr[i]); 10 heap_size --; 11 MaxHeapify(arr, heap_size, 0); 12 } 13 }
堆排序的时间复杂度：
Max_Heapify()可以看到是在不断遍历树，最坏情况下是从根节点开始，则n个节点的树高为lgn，所以其时间复杂度为O(lgn)。
Build_Max_Heap()经过严格推导，可得时间复杂度为线性的，为O(n)。
所以，Heap_Sort()就为O(nlgn)。
同样的思路可以实现最小堆，下面贴出最大堆完整实现的代码：
1 #include <iostream> 2 3 using namespace std; 4 5 6 //#include "HeapSort.h" 7 8 #define PARENT(x) ((x-1)/2) //求 x 父节点的下标 9 #define LEFT(x) ((x)*2+1) //求 x 左孩子的下标 10 #define RIGHT(x) ((x)*2+2) //求 x 右孩子的下标 11 12 void MaxHeapify(int arr[], int heap_size, int index); //维护最大堆的性质 13 void MaxHeapify_Recur(int arr[], int heap_size, int index); //递归 14 void BuildMaxHeap(int arr[], int heap_size); //从一个无序的数组中构造一个最大堆 15 void HeapSort(int arr[], int length); //堆排序 16 void Swap(int &a, int &b); 17 18 void MaxHeapify(int arr[], int heap_size, int index) 19 { 20 if (index < 0 && index >= heap_size) 21 return; 22 23 bool isHeapify = true; //标识最大堆是否处理完 24 while (isHeapify && index < heap_size) { 25 int left = LEFT(index); 26 int right = RIGHT(index); 27 int largest; 28 29 if (left < heap_size && arr[left] > arr[index]) 30 largest = left; 31 else 32 largest = index; 33 34 if (right < heap_size && arr[right] > arr[largest]) 35 largest = right; 36 37 if (largest != index) { 38 Swap(arr[index], arr[largest]); 39 index = largest; 40 } 41 else 42 isHeapify = false; 43 } 44 } 45 46 void MaxHeapify_Recur(int arr[], int heap_size, int index) 47 { 48 if (index <=0 && index >= heap_size) 49 return; 50 51 int left = LEFT(index); 52 int right = RIGHT(index); 53 int largest; 54 55 if (left < heap_size && arr[left] > arr[index]) 56 largest = left; 57 else 58 largest = index; 59 60 if (right < heap_size && arr[right] > arr[largest]) 61 largest = right; 62 63 if (largest != index) { 64 Swap(arr[index], arr[largest]); 65 MaxHeapify_Recur(arr, heap_size, largest); 66 } 67 } 68 69 void BuildMaxHeap(int arr[], int heap_size) 70 { 71 if (heap_size == 0) 72 return; 73 74 for (int i = (heap_size-1)/2; i >= 0; i--) 75 MaxHeapify(arr, heap_size, i); 76 } 77 78 void HeapSort(int arr[], int length) 79 { 80 if (length == 0) 81 return; 82 83 int heap_size = length; 84 BuildMaxHeap(arr, heap_size); 85 for (int i = length-1; i >= 1; i --) { 86 Swap(arr[0], arr[i]); 87 heap_size --; 88 MaxHeapify(arr, heap_size, 0); 89 } 90 } 91 92 void Swap(int &a, int &b) 93 { 94 int temp = a; 95 a = b; 96 b = temp; 97 } 98 99 // int main() 100 // { 101 // int arr[10] = {10,14,16,8,7,9,3,2,4,1}; 102 // HeapSort(arr, 10); 103 // for (int i = 0; i < 10; i ++) 104 // cout << arr[i] << " "; 105 // return 0; 106 // }
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