JZOJ #4722 跳楼机 （最短路模型的完美转化）

题目描述：

_{给出$h,x,y,z$，求在$h$以内，$x,y,z$可以凑出多少个不同的数。$(1\leq{h}\leq{10^{18}},1\leq{x,y,z}\leq{10^5})$}

解题思路：

直接做显然不好做。我们考虑取$n$个$y$和$m$个$z$，然后再加上$x,2*x,3*x\cdots$，显然地，只要对于每种取法，$(ny+mz)\%x$的值不同的话，就不会有重复。所以我们先求出$d_{i}=c$表示通过选$y$和$z$使得和模$x$等于$i$的最小和$c$。然后答案就是$\sum_{i=0}^{x-1}(\lfloor\frac{h-d_{i}}{x}\rfloor+1)$。至于怎么求$d_{i}$，可以发现$d_{(i+y)\%x}=d_{i}+y$，$d_{(i+z)\%x}=d_{i}+z$，明显的最短路模型。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define i64 long long
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
const i64 inf = 1e18 + 1;
int x, y, z, inq[N];
i64 h, ans, d[N];

queue <int> q;

void spfa() {
    for (int i = 0; i < x; i ++) d[i] = inf;
    d[1] = 1 % x;
    q.push(1);
    inq[1] = 1;
    while (!q.empty()) {
        int i = q.front(); q.pop();
        if (d[i] + y < d[(i + y) % x]) {
            d[(i + y) % x] = d[i] + y;
            if (!inq[(i + y) % x]) {
                inq[(i + y) % x] = 1;
                q.push((i + y) % x);
            }
        }
        if (d[i] + z < d[(i + z) % x]) {
            d[(i + z) % x] = d[i] + z;
            if (!inq[(i + z) % x]) {
                inq[(i + z) % x] = 1;
                q.push((i + z) % x);
            }
        }
        inq[i] = 0;
    }
}

int main() {
    scanf("%lld", &h);
    scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
    spfa();
    for (int i = 0; i < x; i ++) if (h > d[i]) ans += (h - d[i]) / x + 1;
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}