【数论】【原根】原根的性质以及如何求原根

一个数m如果有原根，则其原根个数为phi(phi(m))。特别地，对素数有phi(p)=p-1。

假设g是奇素数p的一个原根，则g^1,g^2,...,g^(p-1)在模p意义下两两不同，且结果恰好为1~p-1，由此可以定义“离散对数”，与连续数学中的对数有异曲同工之妙。

离散对数又叫做“指标”，有指标法则：I(ab)≡I(a)+I(b) (mod p-1)；I(a^k)≡k*I(a) (mod p-1)，由此可以把乘法转化为加法。

指标的求法：

#include<cstdio>
using namespace std;
bool notpri[100005];
int pri[100005],zyz[100005];
typedef long long ll;
void Shai(int N){
	notpri[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!notpri[i]){
			pri[++pri[0]]=i;
		}
		for(int j=1;j<=pri[0] && (ll)i*(ll)pri[j]<=N;++j){
			notpri[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				break;
			}
		}
	}
}
ll Quick_Pow(ll x,ll p,ll mod){
	if(!p){
		return 1ll;
	}
	ll res=Quick_Pow(x,p>>1,mod);
	res=res*res%mod;
	if((p&1ll)==1ll){
		res=(x%mod*res)%mod;
	}
	return res;
}
int FindRoot(int x){/*求素奇数的最小原根，倘若x不是奇数，但是也有原根的话，将质
因子分解改成对phi(x)即可。倘若要求多个原根，直接接着暴力验证即可*/
	int tmp=x-1;
	for(int i=1;tmp && i<=pri[0];++i){
		if(tmp%pri[i]==0){
			zyz[++zyz[0]]=pri[i];
			while(tmp%pri[i]==0){
				tmp/=pri[i];
			}
		}
	}
	for(int g=2;g<=x-1;++g){
		bool flag=1;
		for(int i=1;i<=zyz[0];++i){
			if(Quick_Pow((ll)g,(ll)((x-1)/zyz[i]),(ll)x)==1ll){
				flag=0;
				break;
			}
		}
		if(flag){
			return g;
		}
	}
}
int main(){
	Shai(100000);
	printf("%d\n",FindRoot(2017));
	return 0;
}