凸函数与凸集杂记
摘要：
1.凸集
1.1 凸集的定义
1.2 仿射集的定义
1.3 凸集的例子
1.4 凸集的保凸运算
2.凸函数
2.1 凸函数的定义
2.2 凸函数的性质
2.3 凸函数的例子
2.4 凸函数的保凸运算
3.凸集和凸函数的等价条件
4.Jensen不等式
内容：
1.凸集
1.1 凸集的定义
集合C中任意两点间的线段均在集合C中，则称集合C为凸集
向量的表达形式：
这里简单备注下因为向量的加法满足三角形法则，所以得到的向量X是一条线段
1.2 仿射集的定义
集合C中任意两点间的直线均在集合C中，则称集合C为仿射（affine）集
向量的表达形式：
注意这里theta的变化
1.3 凸集的例子
仿射集必然是凸集；常见的凸集有直线，平面，超平面（高维），多面体
1.4 凸集的保凸运算
集合的交，集合的仿射变换，透射和透视变换；
2.凸函数
2.1 凸函数的定义
若函数f的定义域domf为凸集，且满足：
，则f(x)是凸函数
几何意义：若一个函数的任两点的连线都位于函数的上方，则函数为凸函数
2.2 凸函数的性质
2.3 凸函数的例子
指数函数
负对数函数
负熵函数 f(x) = xlnx
范数函数 f(x) = ||x||
最大值函数max 和 指数线性函数 
2.4 凸函数的保凸运算
非负加权和
凸函数与仿射函数的复合函数 g(x) = f(AX+b)
凸函数的逐点求最大以及逐点上确界（y为连续变量） 
3.凸集和凸函数的等价条件
一个函数图像的上方区域为凸集，则该函数为凸函数
4.Jensen不等式
