因式分解技巧——拆项与添项

《因式分解技巧》，单墫著

拆开中项

前面说过，在分组分解时，常常将项数平均分配。但是如果式子只有三项怎么办？方法是将一项拆为两项。如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的，那么以拆开中项为宜。

• 分解因式 \(x^4-4x+3\).
  拆项 $$x^4-x-3x+3$$
  分组 $$(x^4-x)-(3x-3)$$
  分解 $$x(x-1)(x^2+x+1)-3(x-1)$$
  提项 $$(x-1)(x^3+x2+x-3)$$

皆大欢喜

拆项是为了在适当分组后可以进行“提”或“代”，而拆开中项只是一种途径，不必非得如此。

• 对于因式 \(a^3+3a^2+3a+b^3+3b^2+3b+2\)，我们可以看到前面三项很接近完全立方，四五六项也很接近完全立方。如果把 \(2\) 拆成 \(1+1\)，那就皆大欢喜了。
  拆项：$$(a^3+3a2+3a+1)+(b^3+3b2+3b+1)$$
  完全立方公式 $$(a+1)^3+(b+1)3$$
  立方之和 $$(a+b+2)(a^2-ab+b2+a+b+1)$$

旧事重提

对于代公式里的 \((1)\) 式我们还可以证明如下：

• 分解因式： \(a^4+a^2b^2+b^4\)
  首先，注意到式子与完全平方很像，因此会想到如下的拆项： $$(a^4+2a2b^2+b4)-a^2b2$$
  接下来再利用平方差： $$(a^2+b2)^2-(ab)2=(a^2+ab+b2)(a^2-ab+b2)$$

我们可以看到，这个方法比之前的要简单自然一些。

无中生有——一个数论应用

• 在 \(m\), \(n\) 都是大于 \(1\) 的整数时， \(m^4+4n^4\) 是合数。
  与这两项最接近的就是完全平方了，因此不妨添项，即“无中生有”（\(0=4m^2n^2-4m^2n^2\)）：
  \[(m^4+4m^2n^2+4n^4)-4m^2n^2=(m^2+2n^2)^2-(2mn)^2 \]
  再来平方差 $$(m²⁺²ⁿ2+2mn)(m²⁺²ⁿ2-2mn).$$
  此时，两因数中较小的那个
  \[m^2+2n^2-2mn=(m-n)^2+n^2\geq n^2>1, \]
  因此两数都是真因数。