因式分解技巧——代公式

《因式分解技巧》，单墫著

几个常用公式

1. \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) （常用）

2. \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) （和下一公式一起常被用来证明某代数式非负）

3. \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

4. \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

5. \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

6. \(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\)

7. \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\)

8. \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2\)

完全平方

• 分解因式：\(8a-4a^2-4\).
  首先把原式“理顺”，即将它按照字母“a”降幂排列，从而有 $$-4a^2+8a-4$$
  提取公因式 $$-4(a^2-2a+1)$$
  完全平方 $$-4(a-1)^2.$$
  按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施，简单的往往是有用的。

不同的途径会有不同的难度

分解因式：\(a^6-b^6\).

• 先应用平方差公式： $$a^6-b6=(a^3+b3)(a^3-b3)$$
  再应用立方的和、差公式： $$(a+b)(a^2-ab+b2)(a-b)(a^2+ab+b2)$$

• 先应用立方差公式：$$(a²⁾3-(b²⁾3=(a^2-b2)(a^4+a2b^2+b4)$$
  再应用平方差：$$(a+b)(a-b)(a^4+a2b^2+b4)$$
  这时候产生的四次项就不太好办了。由此可见这种途径没有上面的方便。

当然，一个式子的两种分解应该是相等的，所以有

\[a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2). \quad (1) \]

这也算是一个收获了。

式\((1)\) 的另一种证明方法见拆项与添项