第二次作业

1.设X是一个随机变量，取值范围是一个包含M个字母的符号集。证明0<=H(X)<=log_{2^M 。}

证明：

当M个字母完全相同时，即M=1时，

H(X)=-∑(P(X_i)*log₂P(Xi))=0,

此时H(X)最小；

当M个字母不相同时，即M>1时，且每个字母概率出现相等；

 H(X)=-∑(P(X_i)*log₂P(Xi))=-M(1/M*log₂M)=log₂M，

此时H(X)最大。

得证：0≤H(X)≤log₂M

 

 

2.证明如果观察到一个序列的元素为iid分步，则该序列的熵等于一阶熵。

证明：

因为熵H(X)=lim_n→∞1/n*G_n

          G_n=-∑i1=1^i1=m∑i2=1^i2=m.....∑in=1^in=mP(X₁=i1,X₂=i2,....X_n=in)*logP(X₁=i1,X₂=i2,....X_n=in)

          因为该序列被观察到每个元素是独立同（idd）分布的，所以

          G_n=-n∑i1=1^i1=mP(X₁=i1)*logP(X₁=i1)，则

          H(X)=-∑P(X₁=i1)*logP(X₁=i1)为一阶熵。

 

 

3.给定符号集A={a_1，a₂，a₃，a₄}，求一下条件下的一阶熵：

(a)P(a₁)=P(a₂)=P(a₃)=P(a₄)=1/4

(b)P(a₁)=1/2，P(a₂)=1/4，P(a₃)=P(a₄)=1/8

(c)P(a₁)=0.505，P(a₂)=1/4，P(a₃)=1/8，P(a₄)=0.12

解：

(a)

H(A)=-∑P(a_i)*logP(a_i)=-4*(1/4*log₂1/4)=2

(b)

H(A)=-∑P(a_i)*logP(a_i)=-(1/2*log₂1/2+1/4*log₂1/4+2*1/8*log₂1/8)=7/4

(c)

H(A)=-∑P(ai)*logP(ai)=-(0.505*log₂0.505+1/4*log₂1/4+1/8*log₂1/8+0.12*log₂0.12)

            =1/2+3/8-0.505*log₂0.505-0.12*log₂0.12

            =7/8-0.505*log₂0.505-0.12*log₂0.12