分治法

最大子数组问题

方法一：暴力求解方法

我们可以很容易地设计出一个暴力方法来求解本问题：简单地尝试没对可能的子数组，共有O(n2)种

#include<iostream>

using namespace std;

#define INT_MIN 0x80000000

int main()

{

    int arr[10]={9,8,-3,-5,7,-39,79,-37,8,9};

    int i,j;

    int sum=0,maxsum=INT_MIN;

    int imax;

    for(i=0;i<10;i++)

    {

        sum=0;

         for(j=i;j<10;j++)

         {

            sum+=arr[j];

            if(maxsum<sum)

            {

                maxsum=sum;

                imax=j;

            }

         }

    }

 

    cout<<"maxsum: "<<maxsum<<" imax:"<<imax<<endl;

}

 

方法二：使用分治策略的求解方法（O(nlgn)）

我们来思考如何用分治技术来求解最大子数组问题。假定我们要寻找子数组A[low,high]的最大子数组。使用分治技术意味着我们要将子数组划分为两个规模尽量相等的子数组。也就是说，找到子数组的中央位置，比如mid，然后考虑求解两个子数组A[low,mid]和A[mid+1,high]。则A[low,high]的任何连续子数组A[i..j]所处的位置必定是以下3种情况之一：

• 完全位于子数组A[low..mid]中，因此low<=i<=j<=mid
• 完全位于子数组A[mid+1..high]中，因此mid<i<=j<=high;
• 跨越了中点，因此low<=i<=mid<j<=high;

因此，A[low..high]的一个最大子数组所处的位置必然是这三种情况之一。实际上，A[low,high]的一个最大子数组必然是完全位于A[low..mid]中，完全位于A[mid+1..high]中或者跨越中点的所有子数组中和最大者。我们可以递归地求解A[low,mid]和A[mid+1,high]的最大子数组，因为这两个子问题仍然是最大子数组的问题，只是规模更小。因此，剩下的全部工作就是寻找跨越中点的最大子数组，然后在三种情况中选取和最大者。

算法如下：

#include<iostream>

#include<tuple>

using namespace std;

#define INT_MIN 0x80000000

tuple<int,int,int> FindMaxCrossingSubarry(int arr[],int low,int mid,int high)

{

    int leftsum=INT_MIN,rightsum=INT_MIN;

    int sum=0;

    int maxleft=low,maxright=mid+1;

    int i;

    for(i=mid;i!=low;i--)

    {

        sum+=arr[i];

        if(leftsum<sum)

        {

            leftsum=sum;

            maxleft=i;

        }

    }

    sum=0;

    for(i=mid+1;i!=high;i++)

    {

        sum+=arr[i];

        if(rightsum<sum)

        {

            rightsum=sum;

            maxright=i;

        }

    }

    cout<<"maxleft: "<<maxleft<<"  maxright: "<<maxright<<"  leftsum+rightsum: "<<leftsum+rightsum<<endl;

    return tuple<int,int,int>(maxleft,maxright,leftsum+rightsum);

}

 

tuple<int,int,int> FindMaximumSubarry(int arr[],int low,int high)

{

    if(low==high)

        return tuple<int,int,int>(low,high,arr[low]);

    else

    {

        int mid=(low+high)/2;

        tuple<int,int,int> left=FindMaximumSubarry(arr,low,mid);

        tuple<int,int,int> right=FindMaximumSubarry(arr,mid+1,high);

        tuple<int,int,int> middle=FindMaxCrossingSubarry(arr,low,mid,high);

        if(get<2>(left)>=get<2>(right)&&get<2>(left)>=get<2>(middle))

            return left;

        else if(get<2>(right)>=get<2>(left)&&get<2>(right)>=get<2>(middle))

            return right;

        else

            return middle;

    }

}

 

int main()

{

    int arr[10]={9,8,-3,-5,7,-39,79,-37,8,9};

    tuple<int,int,int> result=FindMaximumSubarry(arr,0,9);

    cout<<get<0>(result)<<" "<<get<1>(result)<<" "<<get<2>(result)<<endl;

}

 

方法三：使用动态规划的算法（O(n)）

#include<iostream>

using namespace std;

 

int MaxArraySum(int arr[],int n)

{

    int sum,maxSum,maxi;

    int i;

    maxSum=0;

    maxi=0;

    sum=0;

    for(i=0;i<n;i++)

    {

        sum+=arr[i];

        if(sum<0)

        {

            sum=0;

            continue;

        }

        if(maxSum<sum)

        {

            maxSum=sum;

            maxi=i;

        }

    }

    cout<<"max sum: "<<maxSum<<" index: "<<maxi<<endl;

    return maxSum;

}

 

int main()

{

    int arr[10]={9,8,-3,-5,7,-39,79,-37,8,9};

    cout<<MaxArraySum(arr,10);

}

 

 

 

分治法总结

一、基本概念
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

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二、基本思想及策略
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

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三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

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四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

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五、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：T（n）= k T(n/m)+f(n)

通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当 mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

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六、可使用分治法求解的一些经典问题
（1）二分搜索
（2）大整数乘法
（3）Strassen矩阵乘法
（4）棋盘覆盖
1,快速排序

快排是C.R.A.Hoare于1962年提出的一种划分交换排序。它采用了一种分治的策略，该方法的基本思想是：
1)．先从数列末尾取出一个数作为基准元。
2)．分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
3)．再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

//手动快速默写快排：先划界，再分治....  
int *arr,  low,  high)
 pos = rand() % (high - low + 1) + low;

 key = arr[high];
 i = low - 1;
 ( j = low; j <= high - 1; j++)
 (arr[j] <= key)
 i;
void *arr,  low,  high)
 (low < high)
 mid = quickPartion(arr, low, high);
}

2，归并排序
归并排序是把序列递归地分成短序列，递归出口是短序列只有1个元素(认为直接有序)或者2个序列(1次比较和交换),然后把各个有序的段序列合并成一个有序的长序列，不断合并直到原序列全部排好序。可以发现，在1个或2个元素时，1个元素不会交换，2个元素如果大小相等也没有人故意交换，这不会破坏稳定性。那么，在短的有序序列合并的过程中，稳定是是否受到破坏？没有，合并过程中我们可以保证如果两个当前元素相等时，我们把处在前面的序列的元素保存在结果序列的前面，这样就保证了稳定性。所以，归并排序也是稳定的排序算法。

核心函数：

//分治法的合并函数  
//arr[low...mid]与arr[mid+1...high]相合并
void *arr,  low,  mid,  high)
 leftlen = mid - low + 1;
 rightlen = high - mid;
 *L =  [leftlen + 1];
 *R =  [rightlen + 1];


 i = 0;
 (; i < leftlen; i++)
 j = 0;
 (; j < rightlen; j++)

 ( k = low; k <= high; k++)
 (L[i] <= R[j])

[] L; L = NULL;
[] R; R = NULL;
//合并排序法（分治法）  
void *arr,  low,  high)
 (low < high)
 mid = (low + high) / 2;
}

九，Leetcode实例

题目：

在一个未排序的数组中找到第k大的元素，注意此言的第k大就是排序后的第k大的数，
注意：给定k总是安全有效的。

分析：

设数组下表从low开始，至high结束。
1、 总是取要划界的数组末尾元素为划界元x，开始划界：

a) 用j从low遍历到high-1（最后一个暂不处理），i=low-1，如果nums[j]比x小就将nums[++i]与nums[j]交换位置

b) 遍历完后再次将nums[i+1]与nums[high]交换位置（处理最后一个元素）;

c) 返回划界元的位置i+1，下文称其为midpos

这时的midpos位置的元素，此时就是整个数组中第N-midpos大的元素，我们所要做的就像二分法一样找到K=N-midpos的“中间位置”，即midpos=N-K

2、 如果midpos==n-k，那么返回该值，这就是第k大的数。
3、 如果midpos>n-k，那么第k大的数在左半数组
4、 如果midpos<n-k，那么第k大的数在右半数组

//思路首先：
//快排划界，如果划界过程中当前划界元的中间位置就是k则找到了
//time,o(n*lg(k)),space,o(1)
class Solution {
public:
    //对数组vec，low到high的元素进行划界，并获取vec[high]的“中间位置”
    int quickPartion(vector<int> &vec, int low,int high)
    {
        int x = vec[high];
        int i = low - 1;
        for (int j = low; j <= high - 1; j++)
        {
            if (vec[j] <= x)//小于x的划到左边
                swap(vec,++i,j);
        }
        swap(vec,++i,high);//找到划界元的位置
        return i;//返回位置
    }
    //交换数组元素i和j的位置
    void swap(vector<int>& nums, int i, int j){
        int temp = nums[i];
        nums[i]=nums[j];
        nums[j]=temp;
    }
    int getQuickSortK(vector<int> &vec, int low,int high, int k)
    {
        if(low >= high) return vec[low];
        int  midpos = quickPartion(vec, low,high);   //对原数组vec[low]到vec[high]的元素进行划界
        if (midpos == vec.size() - k)      //如果midpos==n-k，那么返回该值，这就是第k大的数
            return vec[midpos];
        else if (midpos < vec.size() - k)  //如果midpos<n-k，那么第k大的数在右半数组
            return getQuickSortK(vec, midpos+1, high, k);
        else                               //如果midpos>n-k，那么第k大的数在左半数组
            return getQuickSortK(vec, low, midpos-1, k);
    }
    int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {
        return getQuickSortK(nums,0,nums.size()-1,k);
    }
};