黑暗城堡

题目描述

在顺利攻破 Lord lsp 的防线之后，lqr 一行人来到了 Lord lsp 的城堡下方。Lord lsp 黑化之后虽然拥有了强大的超能力，能够用意念力制造建筑物，但是智商水平却没怎么增加。现在 lqr 已经搞清楚黑暗城堡有 N 个房间，M 条可以制造的双向通道，以及每条通道的长度。lqr 深知 Lord lsp 的想法，为了避免每次都要琢磨两个房间之间的最短路径， Lord lsp一定会把城堡修建成树形的；但是，为了尽量提高自己的移动效率，Lord lsp 一定会使得城堡满足下面的条件：设 Di为如果所有的通道都被修建，第 i 号房间与第 1 号房间的最短路径长度；而 Si 为实际修建的树形城堡中第 i 号房间与第1 号房间的路径长度，对于所有满足 1≤i≤N 的整数 i，有 Si = Di。为了打败 Lord lsp，lqr想知道有多少种不同的城堡修建方案。于是 lqr 向 applepi 提出了这个问题。由于 applepi 还要忙着出模拟赛，所以这个任务就交给你了。当然，你只需要输出答案对 2^31 – 1 取模之后的结果就行了.

输入格式

第一行有两个整数 N 和 M。之后 M 行，每行三个整数 X，Y 和 L，表示可以修建 X 和 Y 之间的一条长度为 L 的通道。2≤N≤1000，N – 1≤M≤N(N – 1)/2，1≤L≤100

输出格式

输出一个整数，表示答案对 2^31 – 1 取模之后的结果。

---

根据题意，所有边满足Di=Si的图其实就是最短路径树。

所以我们可以求出图的最短路径树。由于这个'最短路径树'其实并不是一棵树，它其实是一张DAG，所以我们还得再处理一下方案数。

首先，树的每个节点的都只有一个父亲节点。所以我们可以统计一下DAG上每个点的父亲数，再根据乘法原理，方案数就等于：

\[\prod_{i=2}^{n}ind[x] \]

ind表示入度，也就是父亲数。i从2开始是因为1没有父亲。

那么算法的时间复杂度就是：O((N+M)log(N+M))

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#define maxn 1001
#define maxm 1000001
#define mod ((1<<31)-1)
using namespace std;
 
vector<int> to[maxn],w[maxn];
int dis[maxn],ind[maxn];
bool vis[maxn];
int n,m;
 
inline int read(){
    register int x(0),f(1); register char c(getchar());
    while(c<'0'||'9'<c){ if(c=='-') f=-1; c=getchar(); }
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
 
inline void dijkstra(){
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    priority_queue< pair<int,int>,vector< pair<int,int> >,greater< pair<int,int> > > q;
    q.push(make_pair(0,1)),dis[1]=0;
    while(q.size()){
        int u=q.top().second; q.pop();
        if(vis[u]) continue; vis[u]=true;
        for(register int i=0;i<to[u].size();i++){
            int v=to[u][i];
            if(dis[v]>dis[u]+w[u][i]){
                dis[v]=dis[u]+w[u][i],ind[v]=1;
                q.push(make_pair(dis[v],v));
            }else if(dis[v]==dis[u]+w[u][i]) ind[v]++;
        }
    }
}
 
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),_w=read();
        to[u].push_back(v),w[u].push_back(_w);
        to[v].push_back(u),w[v].push_back(_w);
    }
    dijkstra();
 
    long long ans=1;
    for(register int i=2;i<=n;i++) ans=(1ll*ans*ind[i])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}