poj 3735 Training little cats （矩阵快速幂）
【题意】：有n只猫咪，开始时每只猫咪有花生0颗，现有一组操作，由下面三个中的k个操作组成：
1. g i 给i只猫咪一颗花生米
2. e i 让第i只猫咪吃掉它拥有的所有花生米
3. s i j 将猫咪i与猫咪j的拥有的花生米交换
现将上述一组操作做m次后，问每只猫咪有多少颗花生？
【题解】：m达到10^9，显然不能直接算。
因为k个操作给出之后就是固定的，所以想到用矩阵，矩阵快速幂可以把时间复杂度降到O（logm）。问题转化为如何构造转置矩阵？
说下我的思路，观察以上三种操作，发现第二，三种操作比较容易处理，重点落在第一种操作上。
有一个很好的办法就是添加一个辅助，使初始矩阵变为一个n+1元组，编号为0到n，下面以3个猫为例：
定义初始矩阵A = [1 0 0 0]，0号元素固定为1，1~n分别为对应的猫所拥有的花生数。
对于第一种操作g i，我们在单位矩阵基础上使Mat[0][i]变为1，例如g 1：
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1，显然[1 0 0 0]*Mat = [1 1 0 0]
对于第二种操作e i，我们在单位矩阵基础使Mat[i][i] = 0,例如e 2：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1, 显然[1 2 3 4]*Mat = [1 2 0 4]
对于第三种操作s i j，我们在单位矩阵基础上使第i列与第j互换，例如s 1 2：
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0，显然[1 2 0 4]*Mat = [1 4 0 2]
现在，对于每一个操作我们都可以得到一个转置矩阵，把k个操作的矩阵相乘我们可以得到一个新的转置矩阵T。
A * T 表示我们经过一组操作，类似我们可以得到经过m组操作的矩阵为 A * T ^ m,最终矩阵的[0][1~n]即为答案。
上述的做法比较直观，但是实现过于麻烦，因为要构造k个不同矩阵。
有没有别的方法可以直接构造转置矩阵T？答案是肯定的。
我们还是以单位矩阵为基础：
对于第一种操作g i，我们使Mat[0][i] = Mat[0][i] + 1；
对于第二种操作e i，我们使矩阵的第i列清零；
对于第三种操作s i j，我们使第i列与第j列互换。
这样实现的话，我们始终在处理一个矩阵，免去构造k个矩阵的麻烦。
至此，构造转置矩阵T就完成了，接下来只需用矩阵快速幂求出 A * T ^ m即可，还有一个注意的地方，该题需要用到long long。
具体实现可以看下面的代码。
首先想想 为什么这样是可以的呢？
其实这道题可一看成 1*n 的矩阵 和n*n 的矩阵相乘（因为 对我们有用的信息只是第一行）
例如 : 上面的例子，第一次是 {0,0,0,1} * T (最后一个 1 的作用是将 加起来 （模拟一下就明白了） ) 一次后 变为 ｛2，0，1，1｝* T
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#define Min(a,b) a<b?a:b
#define Max(a,b) a>b?a:b
#define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(a));
#define maxn 40
#define eps 1e-6
#define inf 9999999
#define mx 1<<60
#define ll __int64
using namespace std;
ll n,m,k;
struct matrix
{
ll m[110][110];
void clear()
{
memset(m,0,sizeof(m));
}
void unit()
{
clear(); //错在了这里，没清空
for(int i = 0; i <= n;i++)
{
m[i][i] = 1;
}
}
};
matrix a;
void init()
{
int i;
a.clear();
for(i = 0; i <= n;i++)
{
a.m[i][i] = 1;
}
}
matrix mtmul(matrix a,matrix b)
{
int i,j,k;
matrix c;
c.clear();
for(i =0 ; i <= n;i++)
{
for(k = 0; k <=n;k++)
{
if(a.m[i][k])
for(j = 0 ; j <=n;j++)
{
c.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
}
}
}
return c;
}
/*matrix mtpow(matrix a,int k)
{
matrix b;
if(k == 1) return a;
int mid = k / 2;
b = mtpow(a,mid);
b = mtmul(b,b);
if(k&1)
{
b = mtmul(b,a);
}
return b;
}*/
matrix mtpow(matrix a,ll k)
{
if(k == 1) return a;
matrix e;
e.unit();
while(k)
{
if(k&1)
{
e = mtmul(e,a);
}
k>>=1;
a = mtmul(a,a);
}
return e;
}
int main()
{
ll i ,j,x,y;
char c[4] ;
while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&k)!=EOF)
{ if(n ==0 && m ==0 && k == 0) break;
init();
for(i = 0; i < k;i++)
{
scanf("%s",c);
if(c[0] == 'g')
{
scanf("%I64d",&x);
a.m[0][x] ++ ;
}
if(c[0] == 'e')
{
scanf("%I64d",&x);
for(j = 0; j <= n;j++)
a.m[j][x] = 0;
}
if(c[0] == 's')
{
scanf("%I64d%I64d",&x,&y);
if(x == y) continue ;
for(j = 0; j <= n;j++)
{
swap(a.m[j][x],a.m[j][y]) ;
}
}
}
if(m == 0)
{
for(i = 0; i < n;i++)
if(i == 0)printf("0");
else printf(" 0");
printf("\n");
continue ;
}
a = mtpow(a,m);
for(i = 1;i <= n;i++)
{
if(i == 1 )printf("%I64d",a.m[0][i]);
else printf(" %I64d",a.m[0][i]);
}
printf("\n");
}
}
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#define Min(a,b) a<b?a:b
#define Max(a,b) a>b?a:b
#define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(a));
#define maxn 40
#define eps 1e-6
#define inf 9999999
#define mx 1<<60
#define ll __int64
using namespace std;
ll n,m,k;
struct matrix
{
ll m[110][110];
void clear()
{
memset(m,0,sizeof(m));
}
void unit()
{
clear(); //错在了这里，没清空
for(int i = 0; i <= n;i++)
{
m[i][i] = 1;
}
}
};
matrix a;
void init()
{
int i;
a.clear();
for(i = 0; i <= n;i++)
{
a.m[i][i] = 1;
}
}
matrix mtmul(matrix a,matrix b)
{
int i,j,k;
matrix c;
c.clear();
for(i =0 ; i <= n;i++)
{
for(k = 0; k <=n;k++)
{
if(a.m[i][k])
for(j = 0 ; j <=n;j++)
{
c.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
}
}
}
return c;
}
/*matrix mtpow(matrix a,int k)
{
matrix b;
if(k == 1) return a;
int mid = k / 2;
b = mtpow(a,mid);
b = mtmul(b,b);
if(k&1)
{
b = mtmul(b,a);
}
return b;
}*/
matrix mtpow(matrix a,ll k)
{
if(k == 1) return a;
matrix e;
e.unit();
while(k)
{
if(k&1)
{
e = mtmul(e,a);
}
k>>=1;
a = mtmul(a,a);
}
return e;
}
int main()
{
ll i ,j,x,y;
char c[4] ;
while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&k)!=EOF)
{ if(n ==0 && m ==0 && k == 0) break;
init();
for(i = 0; i < k;i++)
{
scanf("%s",c);
if(c[0] == 'g')
{
scanf("%I64d",&x);
a.m[0][x] ++ ;
}
if(c[0] == 'e')
{
scanf("%I64d",&x);
for(j = 0; j <= n;j++)
a.m[j][x] = 0;
}
if(c[0] == 's')
{
scanf("%I64d%I64d",&x,&y);
if(x == y) continue ;
for(j = 0; j <= n;j++)
{
swap(a.m[j][x],a.m[j][y]) ;
}
}
}
if(m == 0)
{
for(i = 0; i < n;i++)
if(i == 0)printf("0");
else printf(" 0");
printf("\n");
continue ;
}
a = mtpow(a,m);
for(i = 1;i <= n;i++)
{
if(i == 1 )printf("%I64d",a.m[0][i]);
else printf(" %I64d",a.m[0][i]);
}
printf("\n");
}
}
