[Apio2010]特别行动队

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给定\(a,b,c\),将一个长度为n的序列\(\{a_i\}\)划分成若干个区间，定义一个区间的权值为\(ax^2+bx+c\)(x为区间数字和)，求最小的权值之和，\(n\leq 1000000\)。

解

显然设\(f_i\)表示划分前i个数的最小权值之和，不难有递推方程(其中s为a的前缀和)

\(f_i=\min_{0\leq j<i}\{f_j+a(s_i-s_j)^2+b(s_i-s_j)+c\}\)

其斜率优化式为

\(2as_is_j+f_i-as_i^2-bs_i-c=f_j+as_j^2-bs_j\)

以\((s_j,f_j+as_j^2-bs_j)\)为决策点集，其中横坐标单调递增，以\(2as_i\)为斜率，斜率单调递减，故我们只要用单调队列维护一个上凸壳，让答案在队首即可，时间复杂度\(O(n)\),记得开long long。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define Size 1000100
#define ll long long
using namespace std;
int T[Size],L,R;
ll dp[Size],y[Size],x[Size];
template<class free>il void read(free&);
int main(){
	int n,a,b,c;
	read(n),read(a),read(b),read(c);
	for(int i(1);i<=n;++i)
		read(x[i]),x[i]+=x[i-1];L=R=1;
	for(int i(1);i<=n;++i){
		while(L<R&&2*a*x[i]*(x[T[L+1]]-x[T[L]])<=(y[T[L+1]]-y[T[L]]))++L;
		dp[i]=dp[T[L]]+(x[i]-x[T[L]])*(a*(x[i]-x[T[L]])+b)+c,y[i]=dp[i]+x[i]*(a*x[i]-b);
		while(L<R&&(y[T[R]]-y[T[R-1]])*(x[i]-x[T[R]])<=(y[i]-y[T[R]])*(x[T[R]]-x[T[R-1]]))--R;
		T[++R]=i;}printf("%lld",dp[n]);
	return 0;
}template<class free>
il void read(free &x){
	x&=0;ri char c;while(c=getchar(),c==' '||c=='\n'||c=='\r');
	ri bool check(false);if(c=='-')check|=true,c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	if(check)x=-x;
}