[NOI2009]诗人小G

[NOI2009]诗人小G

有n个有先后顺序的句子，每个句子有一个长度\(a_i\)，现在要求将其划分成段，两个句子间会存在一个空格，每一段的权值为|总长度-L|的p次方，总权值为所有的段权值之和，询问总权值的最小值，并输出方案，如果答案超过\(10^{18}\),输出Too hard to arrange，\(n\leq 100000,l\leq 3000000,p\leq 10\),每个句子长度不超过30.

解

显然要表现处理到哪一个句子，于是设\(f_i\)表示处理到第i个句子的最小总权值，\(s_i\)为前i个句子的长度前缀和，有

\[f_i=\min_{j=0}^{i-1}\{f_j+|s_i-s_j+i-j-1-l|^p\} \]

容易知道，这是\(O(n^2)\)递推，而且高次不符合斜率优化和单调栈优化，于是考虑四边形不等式，设\(w(j,i)=|s_i-s_j+i-j-1-l|^p\)，现在要证明

\(w(j,i+1)+w(j+1,i)\geq w(j,i)+w(j+1,i+1)\)

即证

\(w(j,i+1)-w(j,i)\geq w(j+1,i+1)-w(j+1,i)\)

设\(A=s_i-s_j+i-j-1-l,B=s_i-s_{j+1}+i-j-2-l\)，显然\(A>B\)，于是即证

\(|A+a_i+1|^p-|A|^p\geq |B+a_i+1|^p-|B|^p\)

由于函数\(|x+c|^p-|x|^p\)单调递增，故成立，于是w满足四边形不等式。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define Size 100050
#define double long double
using namespace std;
struct san{
	int l,r,p;
}T[Size];
string s[Size];
double dp[Size];
int L,R,S[Size],pre[Size],P,hl;
void print(int);
il int dfs(int,int);
il double pow(double,int);
template<class free>il free Abs(free);
int main(){
	int t,n;scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d%d",&n,&hl,&P);
		for(int i(1);i<=n;++i)
			cin>>s[i],S[i]=S[i-1]+s[i].size();
		L=R=1,T[1].l=1,T[R].r=n,T[1].p=0;
		for(int i(1),j;i<=n;++i){
			dp[i]=dp[T[L].p]+pow(Abs(S[i]-S[T[L].p]+i-T[L].p-1-hl),P);
			pre[i]=T[L].p,++T[L].l;if(T[L].l>T[L].r)++L;
			while(L<=R&&dp[T[R].p]+pow(Abs(S[T[R].l]-S[T[R].p]+T[R].l-T[R].p-1-hl),P)>=
				  dp[i]+pow(Abs(S[T[R].l]-S[i]+T[R].l-i-1-hl),P))--R;T[++R].p=i,T[R].r=n;
			if(L<R){T[R].l=dfs(R-1,i),T[R-1].r=T[R].l-1;if(T[R].l>T[R].r)--R;}
		}if(dp[n]>1e18)puts("Too hard to arrange");
		else printf("%lld\n",(long long)dp[n]),print(n);
		puts("--------------------");
	}
	return 0;
}
void print(int n){if(!n)return;print(pre[n]);
	for(int i(pre[n]+1);i<n;++i)cout<<s[i]<<' ';cout<<s[n]<<endl;
}
il int dfs(int t,int p){
	int l(T[t].l),mid,r(T[t].r);
	while(l<=r){mid=l+r>>1;
		if(dp[T[t].p]+pow(Abs(S[mid]-S[T[t].p]+mid-T[t].p-1-hl),P)<
		   dp[p]+pow(Abs(S[mid]-S[p]+mid-p-1-hl),P))l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}return l;
}
il double pow(double x,int y){
	double ans(1);
	while(y){
		if(y&1)ans*=x;
		x*=x,y>>=1;
	}return ans;
}
template<class free>
il free Abs(free x){
	return x<0?-x:x;
}