[NOI2007]货币兑换

[NOI2007]货币兑换

有n天，第i天有一个属性\(a_i,b_i,r_i\)表示当天股票a,b的价值分别为\(a_i,b_i\),且购买的a，b股票数量比值为\(a_i/b_i\)，要求要卖股票要全部卖完，买股票要用完全部的钱，现在初始有s钱，为n天后最大的钱数,\(n ≤ 100 000\)。

解

设第j天能够购买股票a，b的数量分别为\(x_j,y_j\),拥有的钱数为\(f_j\)，不难有

\(x_ja_j+y_jb_j=f_j\)

\(\frac{x_j}{y_j}=r_j\)

解得

\(x_j=\frac{r_jf_j}{r_ja_j+b_j},y_j=\frac{f_j}{r_ja_j+b_j}\)

因此有方程

\[f_i=_{0\leq j<i}x_ja_i+y_jb_i \]

边界：\(f_0=s\)，其余无限小

答案：\(f_n\)

注意到式子需要优化，因为j，i的关系密切，考虑斜率优化，因此不难得知斜率优化式为

\[-y_j=\frac{a_i}{b_i}x_j-\frac{f_i}{b_j} \]

注意到\(b_j\)为正数，所以截距要尽可能小，但是不存在单调性，于是考虑set维护动态插点，删点，查斜率，时间复杂度\(O(nlog^n)\)。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <set>
#define il inline
#define ri register
#define db double
#define Size 100050
#define intmax 1e66
using namespace std;bool cmp;
struct DATA{db x,y;db *k;
	il bool operator<(const DATA&a)const{
		if(cmp)return x<a.x;return *k<*a.k;}
};set<DATA>S;db a[Size],b[Size],r[Size],dp[Size];
il void insert(int);il db dfs(int);
template<class free>il free Max(free,free);
int main(){
	int n,s;scanf("%d%lf",&n,&dp[1]);
	for(int i(1);i<=n;++i)scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&r[i]);
	insert(1);for(int i(2);i<=n;++i)dp[i]=Max(dfs(i),dp[i-1]),insert(i);
	printf("%.3lf",dp[n]);
	return 0;
}
template<class free>
il free Max(free a,free b){
	return a>b?a:b;
}
il void insert(int i){cmp|=true;DATA m;
	m.x=dp[i]*r[i]/(a[i]*r[i]+b[i]),m.y=-m.x/r[i],
		m.k=new db(intmax);
	set<DATA>::iterator M(S.insert(m).first),L(M),R(M);
	if(L!=S.begin()&&++R!=S.end())
		if(--L,(L->y-M->y)/(L->x-M->x)>=(R->y-M->y)/(R->x-M->x))
			return (void)(S.erase(M));L=M,R=L,--R;
	while(L!=S.begin()){L=R;
		*L->k=(L->y-M->y)/(L->x-M->x);
		if(L==S.begin())break;--(R=L);
		if(*R->k>=*L->k)S.erase(L);
		else break;}++(R=M);
	while(R!=S.end()){*M->k=(M->y-R->y)/(M->x-R->x);
		if(*M->k>=*R->k)L=R,++R,S.erase(L);else break;}
}
il db dfs(int i){
	cmp&=0;DATA t((DATA){0,0,new db(a[i]/b[i])});
	set<DATA>::iterator c(S.lower_bound(t));return c->x*a[i]-c->y*b[i];
}