排列组合做题笔记

牛客NOIP模拟第5场T3

Description

给定非负整数\(a,b,c,d\)，求有多少对01串(S,T)，满足以下条件：

• S 由 a 个 0 ， b 个 1 组成
• T 由 c 个 0 ， d 个 1 组成
• T 可以由 S 删掉一些字符得到

由于答案可能过大，你只需要输出答案对 1000000007 取模后的值

• $a,b,c,d \le 2\times 10^3 ,c\le a,d\le b $

Solution

重点在于如何计算方案并做到不重不漏

首先把求解方案数的过程看做构造T，然后把它填充成S

大致可以这么计算：

• 放一些01串在T的后面 【1】

• 剩下的首先拼成T的雏形 【2】

• 然后还有多余的0和1

  • 只允许把一些0插在T中“1”的前面 【3-1】

  • 只允许把一些1插在T中“0”的前面 【3-2】

【1】过程可以\(O((a-c)\times (b-d))\) 枚举

【2】过程就是 \(C(c+d,d)\)

【3-1】可以看成插板法，设有i个0放在最后，T串有 \(d\) 个1，那么就要把 \(a-c-i\) 个0安排在前面的 c个空隙中，方案数就为\(C(d+a-c-i-1,d-1)\)

同理设有j个1放在最后，【3-2】的方案数为 \(C(c+b-d-j-1,c-1)\)

Code

#include<cstdio>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##_END=(y);i<=i##_END;++i)

typedef long long LL;
const int M=4005;
const int P=1000000007;

int C[M][M];
int W(int i,int j){
	if(i<0||j<0||i<j)return 0;
	return C[i][j];
}
int S(int i,int j){return W(j+i-1,j-1);}

int main(){
	int a,b,c,d,ans=0;
	scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
	FOR(i,0,M-1){
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		FOR(j,1,i-1)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
	}
	
	if(!c&&!d)return printf("%d\n",W(a+b,b)),0;
	if(!d){
		FOR(j,0,b-d)ans=(ans+S(b-j,a))%P; 
		return printf("%d\n",ans),0;
	}
	if(!c){
		FOR(j,0,a-c)ans=(ans+S(a-j,b))%P;
		return printf("%d\n",ans),0;
	}
	FOR(i,0,a-c)FOR(j,0,b-d){
		ans=(ans+(LL)W(i+j,j)*S(a-i-c,d)%P*S(b-j-d,c)%P)%P;
	}
	printf("%lld\n",(LL)ans*W(c+d,d)%P);
	
	return 0;
}