[bzoj 3732] Network (Kruskal重构树)

kruskal重构树

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Description

给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000)，记为：1…N。
图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ，第j条边的长度为： d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000).

现在有 K个询问 (1 < = K < = 15,000)。
每个询问的格式是：A B，表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Input

第一行： N, M, K。
第2..M+1行: 三个正整数：X, Y, and D (1 <= X <=N; 1 <= Y <= N). 表示X与Y之间有一条长度为D的边。
第M+2..M+K+1行: 每行两个整数A B,表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Output

对每个询问，输出最长的边最小值是多少。

Sample Input

6 6 8
1 2 5
2 3 4
3 4 3
1 4 8
2 5 7
4 6 2
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
5 1
6 2
6 1

Sample Output

5
5
5
4
4
7
4
5

Hint

1 <= N <= 15,000
1 <= M <= 30,000
1 <= d_j <= 1,000,000,000
1 <= K <= 15,000

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Solution

首先如果这道题是可以离线的，那么我们可以将边从小到大排序，每次加边，然后把两个端点所在的联通块并在一起。那么当A，B刚好联通时加的那条边的边权就是答案。但是本题强制在线，所以我们必须先预处理再回答询问。
我们按照kruskal求最小生成树的方式加边，但每次在加边时，新建一个节点，然后把两个联通块（其实是两棵二叉树）的根节点作为其左右儿子，把边权赋值给新建节点。那么我们可以发现这棵树有几个性质。

1. 是一棵二叉树（虽然这道题并没有什么卵用）；
2. 满足父节点的值大于等于儿子节点，是一个大顶堆，这是最关键的一点；
3. 原图上任意两点间路径最长边的最小值等于其lca的值；

这种建树的方法称作kruskal重构树。
那么A，B的lca就是所求答案。

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 3e4 + 5; 
int n, m, q, cnt, x, y;
int fa[maxn << 1], f[maxn << 1][20], dep[maxn << 1], val[maxn << 1], ch[maxn << 1][2];

int find(int x) {return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);}

struct edge {
	int u, v, w;
	bool operator < (const edge &a) const {return w < a.w;}
} e[maxn << 1];

inline int ask(int u, int v) {
	if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
	int t = dep[u] - dep[v];
	for(int i = 0; i < 20; i++) if(t & (1<<i)) u = f[u][i];
	for(int i = 19; ~i; i--) {
		if(f[u][i] != f[v][i]) u = f[u][i], v = f[v][i];
	} 
	if(u != v) u = f[u][0];
	return u;
}

void dfs(int u) {
	if(!ch[u][0]) return;
	dep[ch[u][0]] = dep[ch[u][1]] = dep[u] + 1;
	dfs(ch[u][0]), dfs(ch[u][1]);
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &q), cnt = n;
	for(int i = 0; i < m; i++) scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w);
	sort(e, e + m);
	for(int i = 1; i < maxn; i++) fa[i] = i, fa[i + maxn] = i + maxn;
	for(int i = 0; i < m; i++) {
		int u = e[i].u, v = e[i].v;
		if(find(u) == find(v)) continue;
		ch[++cnt][0] = fa[u], ch[cnt][1] = fa[v];
		fa[fa[u]] = fa[fa[v]] = f[fa[u]][0] = f[fa[v]][0] = cnt;
		val[cnt] = e[i].w;
	}
	dfs(cnt);
	for(int j = 1; j < 20; j++) 
		for(int i = 1; i <= cnt; i++) f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];
	for(int i = 0; i < q; i++) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		printf("%d\n",val[ask(x, y)]);
	}
	return 0;
}