数据结构与算法分析 - 快速幂简介

（1）.秦九韶算法：

把一个N次的多项式，改写成如下形式：
\[\begin{array}{l}
f( x ) = a_n{x^n} + a_{n - 1}x^{n - 1} +  \cdots  + {a_1}x + a_0\\
= ( {a_n}x^{n - 1} + a_{n - 1}x^{n - 2} +  \cdots  + {a_1} )x + a_0\\
= ( ( ( {a_n}x + a_{n - 1} )x + a_{n - 2}) +  \cdots  + a_1)x + a_0
\end{array}\]

令：
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{b_1} = {a_n}x + {a_{n - 1}}}\\
{{b_2} = {b_1}x + {a_{n - {\rm{2}}}}}\\
{ \cdots  \cdots }\\
{{b_n} = {b_{n - 1}}x + {a_{\rm{1}}}}
\end{array}\]

则：

\[f(x) = {a_n}{x^n} + \cdots + a_0 = b_n\]

这样做的好处就是：通过递归求解数列 {bn} 我们最终获得多项式的值，减少了幂运算和防止INT范围溢出。

（2）.快速幂算法
求解：${a^b}\bmod c = ?$

令：
\[b_{( 10 )} = \overline {a_n}a_{n - 1} \cdots a_1{a_0} _{( 2 )} = a_n{2^n} + a_{n - 1}2^{n - 1} +  \cdots  + a_1{2^1} + a_0\]

故：
\[a^b = a^{a_n{2^n}}a^{a_{n - 1}2^{n - 1}} \cdots  a^{a_1{2^1}} a^{a_0}\]

\[{a^b}\bmod c = [ {( {{a^{{a_n}{2^n}}}\bmod c} )( {{a^{{a_{n - 1}}{2^{n - 1}}}}\bmod c} ) \cdots ( {{a^{{a_1}{2^1}}}\bmod c} )( {{a^{{a_0}}}\bmod c} )} \bmod c,{a_i} = \{ {0,1|i \in [ {1,n} ]} \}\]

实际上，我们还可以用移位方式表示 a_i :
\[a_i = b >  > i \& 1,i \in [ 1,n ]\]

 

（3）.代码模板：

1: //整数的快速幂 m^n % k 的快速幂：

2: long long quickpow(long long m , long long n , long long k){

3: long long ans = 1;

4: while(n){

5: if(n&1)//如果n是奇数

6: ans = (ans * m) % k;

7: n = n >> 1;//位运算“右移1类似除1”

8: m = (m * m) % k;

9: }

10: return ans;

11: }

 

（4）.代码解释：

这里的a为底数，需要区别于a_i ：
\[\begin{array}{l}
if( a_i == 1),a^{a_i{2^i}} = a^{2^i}\\
if (a_i == 0),a^{a_i{2^i}} = 1
\end{array}\]

在这里我们记：(i代表第i位)
\[p_k = a^k,k = 2^i\]

则我们可以获得数列 { p_k }，递推式为：
\[p_k = ( {p_{k - 1}^2} )\bmod c, p_0 = a\bmod c\]

（5）.样例实验

hdu 2035 - 人见人爱A^B

题意：求解(A^B）%1000

解法：自然是快速幂。

附上我的代码：

1: #include<cstdio>

2: #include<cstdlib>

3: using namespace std;

4: //计算（a^p）%m

5: long long int fast_pow(long long a,long long p,long long m){

6: long long ans=1;

7: while(p){

8: if(p&1) ans=(ans*a)%m;

9: p=p>>1;

10: a=(a*a)%m;

11: }

12: return ans;

13: }

14: int main(){

15: int n,m;

16: while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF && (n||m)){

17: printf("%d\n",fast_pow(n,m,1000));

18: }

19: }