[ZJOI2010]贪吃的老鼠(网络流+建图)

题目描述

奶酪店里最近出现了m只老鼠！它们的目标就是把生产出来的所有奶酪都吃掉。奶酪店中一天会生产n块奶酪，其中第i块的大小为pi，会在第ri秒被生产出来，并且必须在第di秒之前将它吃掉。第j只老鼠吃奶酪的速度为sj，因此如果它单独吃完第i快奶酪所需的时间为pi/sj。老鼠们吃奶酪的习惯很独特，具体来说：

(1) 在任一时刻，一只老鼠最多可以吃一块奶酪；

(2) 在任一时刻，一块奶酪最多被一只老鼠吃。

由于奶酪的保质期常常很短，为了将它们全部吃掉，老鼠们需要使用一种神奇的魔法来延长奶酪的保质期。将奶酪的保质期延长T秒是指所有的奶酪的di变成di+T。同时，使用魔法的代价很高，因此老鼠们希望找到最小的T使得可以吃掉所有的奶酪。

题解

玄学的建图方式。

首先我们可以把时间离散化，然后把时间分成了几段，把每段看成一个类，这个类中可用的奶酪是已知的。

源点向奶酪连大小的边，奶酪向老鼠连t*v[i]大小的边。

然后考虑如何限制每种奶酪同一时刻只会被一只老鼠吃，每只老鼠同一时刻只会吃一种奶酪。

做法是把奶酪按照速度差分，这样可以保证任意一种选择方法都可以拆成几只老鼠的组合。

证明？%&%&*%&&%

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 2002
using namespace std;
queue<int>q;
const double eps=1e-5;
double p[N],d[N],v[N],b[N],D[N],r[N],sum;
int deep[N],tot,head[N],cur[N],top,n,m,id[102][32],t;
inline int rd(){
    int x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
struct node{int n,to;double l;}e[N*N];
inline void add(int u,int v,double l){
    e[++tot].n=head[u];e[tot].to=v;head[u]=tot;e[tot].l=l;
    e[++tot].n=head[v];e[tot].to=u;head[v]=tot;e[tot].l=0;
}
inline bool bfs(int s,int t){
    memset(deep,0,sizeof(deep));
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    q.push(s);deep[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].n){
            int v=e[i].to;
            if(e[i].l>eps&&!deep[v]){
                deep[v]=deep[u]+1;q.push(v); 
            }
        }
    }
    return deep[t];
}
double dfs(int u,int t,double l){
    if(u==t||!l)return l;
    double f,flow=0;
    for(int &i=cur[u];i;i=e[i].n){
        int v=e[i].to;
        if(deep[v]==deep[u]+1&&(f=dfs(v,t,min(l,e[i].l)))){
            e[i].l-=f;e[i^1].l+=f;l-=f;flow+=f;
            if(l<eps)break;
        }
    }
    return flow;
}
inline bool check(double mid){
    top=0;tot=1;
    memset(head,0,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;++i)D[i]=d[i]+mid,b[++top]=r[i],b[++top]=D[i];
    sort(b+1,b+top+1);
    top=unique(b+1,b+top+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)add(0,i,p[i]);int num=n,T=top*m+n+1; 
    for(int i=2;i<=top;++i)
      for(int j=1;j<=m;++j)id[i][j]=++num,add(num,T,(m-j+1)*(b[i]-b[i-1])*v[j]);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x=lower_bound(b+1,b+top+1,r[i])-b,y=lower_bound(b+1,b+top+1,D[i])-b;
        for(int j=x+1;j<=y;++j)
          for(int k=1;k<=m;++k)add(i,id[j][k],(b[j]-b[j-1])*v[k]);
    }
    double flow=0;
    while(bfs(0,T))flow+=dfs(0,T,2e15);
    return fabs(flow-sum)<eps;
}
int main(){
    t=rd();
    while(t--){
        n=rd();m=rd();sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=rd(),r[i]=rd(),d[i]=rd(),sum+=p[i];
        for(int i=1;i<=m;++i)v[i]=rd();sort(v+1,v+m+1);
        for(int i=m;i>=1;--i)v[i]-=v[i-1];
        double l=0,r=1e9,ans=2e9;
        while(l+eps<r){
            double mid=(l+r)/2;
            if(check(mid))ans=mid,r=mid;else l=mid;
        }
        printf("%.4lf\n",ans);
    }
    return 0;
}