POJ - 3415 Common Substrings (后缀数组）

A substring of a string T is defined as:

 

T( i, k)= T_iT_i +1... T_i+k -1, 1≤ i≤ i+k-1≤| T|.

 

Given two strings A, B and one integer K, we define S, a set of triples (i, j, k):

 

S = {( i, j, k) | k≥ K, A( i, k)= B( j, k)}.

 

You are to give the value of |S| for specific A, B and K.

Input

The input file contains several blocks of data. For each block, the first line contains one integer K, followed by two lines containing strings A and B, respectively. The input file is ended by K=0.

1 ≤ |A|, |B| ≤ 10⁵
1 ≤ K ≤ min{|A|, |B|}
Characters of A and B are all Latin letters.

 

Output

For each case, output an integer |S|.

Sample Input

2
aababaa
abaabaa
1
xx
xx
0

Sample Output

22
5

题意

长度不小于 k 的公共子串的个数

思路：

这题不是很好理解。

设第一个字符串为a，第二个为b

首先我们知道，枚举所有a的后缀，枚举所有b的后缀，将两个后缀的lcp-k+1加起来就是答案。

但是这个算法复杂度太高了，所以我们需要优化一下。

优化的方法就是使用单调栈。

在后缀数组中，lcp[i , j] 就是height[i+1]  到 height[j] 之间的最小值。

对于后缀数组中，第一个字符属于b的后缀，我们每次都o1地计算出，这个后缀与它之前属于a的后缀的lcp和是多少。

然后反过来求a前面的，与属于a的后缀的lcp的和。将这两个和加起来就是答案了。

具体来说，用一个cnt记录前面的lcp对答案的贡献，如果当前的height比单调队列的队顶小，说明对于之后的b来说，这个队顶的贡献已经不能达到了,所以，我们要将它的贡献减去它现在的贡献-height[i];

其他的地方我已经做了详细的注释，请直接查看代码。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>

#define fuck(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define debug(a, x) cerr<<#a<<"["<<x<<"] = "<<a[x]<<endl;
#define ls (t<<1)
#define rs ((t<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn = 200086;
const int maxm = 100086;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll Inf = 999999999999999999;
const int mod = 1000000007;
const double eps = 1e-6;
const double pi = acos(-1);

char s[maxn];
int len, Rank[maxn], sa[maxn], tlen, tmp[maxn];

bool compare_sa(int i, int j) {
    if (Rank[i] != Rank[j]) { return Rank[i] < Rank[j]; }
    //如果以i开始,长度为k的字符串的长度,已经超出了字符串尾,那么就赋值为-1
    //这是因为,在前面所有数据相同的情况下,字符串短的字典序小.
    int ri = i + tlen <= len ? Rank[i + tlen] : -inf;
    int rj = j + tlen <= len ? Rank[j + tlen] : -inf;
    return ri < rj;
}

void construct_sa() {
    //初始的RANK为字符的ASCII码
    for (int i = 0; i <= len; i++) {
        sa[i] = i;
        Rank[i] = i < len ? s[i] : -inf;
    }
    for (tlen = 1; tlen <= len; tlen *= 2) {
        sort(sa, sa + len + 1, compare_sa);
        tmp[sa[0]] = 0;
        //全新版本的RANK,tmp用来计算新的rank
        //将字典序最小的后缀rank计为0
        //sa之中表示的后缀都是有序的,所以将下一个后缀与前一个后缀比较,如果大于前一个后缀,rank就比前一个加一.
        //否则就和前一个相等.
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            tmp[sa[i]] = tmp[sa[i - 1]] + (compare_sa(sa[i - 1], sa[i]) ? 1 : 0);
        }
        for (int i = 0; i <= len; i++) {
            Rank[i] = tmp[i];

        }
    }
}

int height[maxn];

void construct_lcp() {
//    for(int i=0;i<=n;i++){Rank[sa[i]]=i;}
    int h = 0;
    height[0] = 0;
    for (int i = 0; i < len; i++) {//i为后缀数组起始位置
        int j = sa[Rank[i] - 1];//获取当前后缀的前一个后缀(排序后)
        if (h > 0)h--;
        for (; j + h < len && i + h < len; h++) {
            if (s[j + h] != s[i + h])break;
        }
        height[Rank[i]] = h;
    }
}

int st[maxn][20];

void rmq_init() {
    for (int i = 1; i <= len; i++) {
        st[i][0] = height[i];
    }
    int l = 2;
    for (int i = 1; l <= len; i++) {
        for (int j = 1; j + l / 2 <= len; j++) {
            st[j][i] = min(st[j][i - 1], st[j + l / 2][i - 1]);
        }
        l <<= 1;
    }
}

int ask_min(int i, int j) {
    int k = int(log(j - i + 1.0) / log(2.0));
    return min(st[i][k], st[j - (1 << k) + 1][k]);
}

int lcp(int a, int b)//此处参数是,原字符串下标
{
    a = Rank[a], b = Rank[b];
    if (a > b)
        swap(a, b);
    return ask_min(a + 1, b);
}
int la,lb;

struct node{
    int lcp;ll num;
}sta[maxn];
int top=0;



int main() {
//    ios::sync_with_stdio(false);
//    freopen("in.txt", "r", stdin);

    int k;
    while (scanf("%d", &k) != EOF && k) {
        scanf("%s",s);
        la=strlen(s);
        s[la]='$';
        scanf("%s",s+la+1);
        len=strlen(s);
        construct_sa();
        construct_lcp();
        ll cnt,ans,num;

        cnt=ans=num=0;
        for(int i=1;i<=len;i++){
            if(height[i]<k){
                top = cnt =0; //height 小于k的时候，显然之前的贡献对于后面的后缀都是没有用的了。
            }else{
                num=0;//用来记录之前和它相同的height数.
                //实际上，这里的相同,并不是真正的相同，而是如果在某个height1之后出现了一个height2比height1小，
                // 那么height2之后，就认为height1和height2相等
                if(sa[i-1]<la){
                    cnt+=height[i]-k+1;
                    num++;
                }while(top&&sta[top].lcp>=height[i]){
                    cnt-=sta[top].num*(sta[top].lcp-height[i]);//去除多余的贡献
                    num+=sta[top--].num;
                }if(sa[i]>la){
                    ans+=cnt;
                }sta[++top]={height[i],num};
            }
        }




        cnt=num=top=0;

        for(int i=1;i<=len;i++){

            if(height[i]<k){
                top = cnt =0;
            }else{
                num=0;
                if(sa[i-1]>la){
                    cnt+=height[i]-k+1;
                    num++;
                }while(top&&sta[top].lcp>=height[i]){
                    cnt-=sta[top].num*(sta[top].lcp-height[i]);
                    num+=sta[top--].num;
                }if(sa[i]<la){
                    ans+=cnt;
                }sta[++top]={height[i],num};
            }
        }



        printf("%lld\n",ans);

    }


    return 0;
}