Codeforces 343E Pumping Stations

Description

题面
题目大意:求一个排列 \(P\),使得 \(\sum_{i=1}^{n-1}maxflow(P_i,P_{i+1})\) 尽量大

Solution

构造出最小割树,那么第一问答案就是最小割树的边权和
之前我对最小割树都理解错了
实际上这么一个过程:
1.从当前集合中任选两个点 \((x,y)\) 作为源汇点,跑最小割,然后连边 \((x,y,maxflow)\)
2.把原集合由割边分为两个集合,递归处理,并且要把上一个集合的 \(T\),作为这个集合的 \(S\) ,这样才能保证连成一棵树
3.直到点集只有一个点时,返回

构出来的树满足性质:
原图中 \((x,y)\) 的最小割,就是树中 \((x,y)\) 路径中的最小边权

然后考虑如何构造一种方案使得最大流之和最大
首先我们肯定要让最小边走最少的次数,那么我们就只需要尽量不经过这条边就可以了(因为这条边权值是最小的,所以经过了就一定会算一次这条边的贡献)
于是就产生了这么一个做法:
找到权值最小边,把这条边断开分为两个集合,继续递归,直到集合大小为\(1\)时,我们把点加入到排列中
这样排列中的点就分为了两部分 \((x1,x2,x3..xn)\),\((y1,y2,y3...yn)\),\(x,y\) 分别对应这条边两端的点的集合

这样做下去,边权小的边经过的次数我们已经最小化了,但是发现还是不可避免的会经过一次
所以我们得出结论:所有的边都恰好经过一次,这样就得到了第一问的答案

第二问的答案也可以通过模拟这个过程得出

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=205,M=4005,inf=2e8;
struct sub{int x,y,z;}e[M];int b[N];
int n,m,id[N],dep[N],S,T,head[N],nxt[M],to[M],dis[M];
int num=1,ans=0,Head[N],NUM=1,TO[M],DIS[M]={inf},NXT[M];
inline void link(int x,int y,int z){
	nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;dis[num]=z;
	nxt[++num]=head[y];to[num]=x;head[y]=num;dis[num]=z;
}
inline void Link(int x,int y,int z){
	NXT[++NUM]=Head[x];TO[NUM]=y;Head[x]=NUM;DIS[NUM]=z;
	NXT[++NUM]=Head[y];TO[NUM]=x;Head[y]=NUM;DIS[NUM]=z;
}
inline bool bfs(){
	queue<int>Q;
	memset(dep,0,sizeof(dep));
	dep[S]=1;Q.push(S);
	while(!Q.empty()){
		int x=Q.front();Q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			int u=to[i];
			if(dep[u] || dis[i]<=0)continue;
			dep[u]=dep[x]+1;Q.push(u);
		}
	}
	return dep[T];
}
inline int dfs(int x,int flow){
	if(x==T || !flow)return flow;
	int u,tmp,tot=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		u=to[i];
		if(dep[u]!=dep[x]+1 || dis[i]<=0)continue;
		tmp=dfs(u,min(flow,dis[i]));
		dis[i]-=tmp;dis[i^1]+=tmp;
		flow-=tmp;tot+=tmp;
		if(!flow)break;
	}
	if(!tot)dep[x]=-1;
	return tot;
}
inline int maxflow(int tx,int ty){
	S=tx;T=ty;
	int tot=0,t;
	while(bfs()){
		t=dfs(S,inf);
		while(t)tot+=t,t=dfs(S,inf);
	}
	return tot;
}
inline void Clear(){memset(head,0,sizeof(head));num=1;}
inline void solve(int l,int r){
	if(l==r)return ;
	Clear();
	for(int i=1;i<=m;i++)link(e[i].x,e[i].y,e[i].z);
	int t=maxflow(id[l],id[r]),L=l-1,R=r+1;
	ans+=t;Link(id[l],id[r],t);
	for(int i=l;i<=r;i++)
		if(dep[id[i]])b[++L]=id[i];else b[--R]=id[i];
	reverse(b+L+1,b+R+1); //为了保证形成一棵树,id[r] 这个点必须作为下一层的 id[l]
	for(int i=l;i<=r;i++)id[i]=b[i];
	solve(l,L);solve(R,r);
}
bool vis[M];int maxid=0;
inline void BFS(int x,int last){
	for(int i=Head[x];i;i=NXT[i]){
		if(TO[i]==last || vis[i])continue;
		if(DIS[i]<DIS[maxid])maxid=i;
		BFS(TO[i],x);
	}
}
inline void Deal(int x){
	maxid=0;BFS(x,x);
	if(maxid==0){printf("%d ",x);return ;}
	vis[maxid]=vis[maxid^1]=1;
	int u=TO[maxid],v=TO[maxid^1];
	Deal(u);Deal(v);
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
  for(int i=1;i<=n;i++)id[i]=i;
  solve(1,n);
  printf("%d\n",ans);
  Deal(1);
  return 0;
}