【扩展欧几里德】模版及原理

题目描述

求ax+by=gcd(a,b) x最小的正整数解。

输入

a b

输出

a,b最大公约数 x y,x>0且最小

样例输入

154 60

样例输出

2 23 -59

 

原理:

gcd(a,b)=x0a+y0b

gcd(b,a%b)=x1b+y1(a%b)=x1b+y1(a-a/b*b)

因为                gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

得                   x0a+y0b=x1b+y1(a-a/b*b)

合并得             x0a+y0b=y1a+(x1-a/b*y1)b

根据恒等定理： x0=y1 y0=x1-a/b*y1

 

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a,b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a,b)
的其他整数解满足：
 p = p0 + b/Gcd(a,b) * t
 q = q0 ­ a/Gcd(a,b) * t(其中t为任意整数)
 至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a,b)的每个解乘上 c/Gcd(a,b) 即可。

 

所以解的最小段为b/gcd(a,b) x的最小值即为取模后的答案.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    int p=exgcd(a,b,x,y);
    int t=b/p;
    x=(x%t+t)%t;
    y=(p-(long long)x*a)/b;
    printf("%d %d %d",p,x,y);
    return 0;
}