LightOJ 1419 – Necklace Polya计数+费马小定理求逆元

**题意：**给你n个珠子可以染成k种颜色，旋转后相同的视为一种，问共有几种情况 **思路：**开始按照一般的排列组合做发现情况太多且要太多运算，查了下发现此题是组合中Polya定理模板题… 学的浅只能大致一说公式**Sigma(k^gcd(i-1,n))/n**求和数量取决于置换群数量，由于这个成环共有n个置换群，而GCD是求当前置换群的等价置换的数量。 注意由于最后要除n，如果直接取模会出现问题。通过费马小定理求得乘法逆元为pow(n,p-2)%p; 其中p为质数。

#include <stdio.h>

#include <iostream>

#include <string.h>

#include <algorithm>

#include <utility>

#include <vector>

#include <map>

#include <set>

#include <string>

#include <stack>

#include <queue>

#define LL long long

#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))

#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))

using namespace std;


const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int N = 1e5+2000;

const LL mod = 1000000007;

LL gcd(LL a, LL b)

{

    return b==0?a:gcd(b, a%b);

}

LL poww(LL a, LL n)

{

    LL r = 1;

    while(n)

    {

        if(n & 1)

        {

            r = (r * a) % mod;

        }

        n >>= 1;

        a = (a * a) % mod;

    }

    return r % mod;

}



int main()

{



    int T;

    int cnt = 0;

    cin >> T;

    while(T--)

    {

        LL n, k, sum = 0;

        scanf("%lld%lld", &n, &k);

        for(LL i = 0; i < n; i++)

        {

            LL t = gcd(n, i);

            sum = (poww(k, t) + sum ) % mod;

        }

        printf("Case %d: %lld\n", ++cnt,(sum*poww(n, mod-2))%mod);//费马小定理求逆元

    }

    return 0;

}