NOIP2018 初赛数学第二题解析

题意是a,b在0到31中取值，问ab无序对满足a*b=(a|b)*(a&b)的数量。

打表找规律后，发现a包含于b或b包含于a时，合法，来证明一下这个结论。

不失一般性，设a小于等于b。

有恒等式a|b=a+b-(a&b)

设a&b=z

a*b=(a+b-z)*z

易知z<=a

若z=a

a*b=b*a符合条件，此时a是b的子集

若z<a

有(a+b-z)>b

又因z<a

由某很显然的不等式，若两自然数和相等，那么越接近，值严格递增。

所以(a+b-z)*z<a*b

上述结论已经很显然了。