[总结] 快速莫比乌斯变换和子集卷积

马上noip了我在学点啥

问题

求集合并卷积，即\(h_S=\sum_{L\in S}\sum_{R\in S}[L\cup R]f_L*g_R\)

要求更严一点，求子集卷积，即\(h_S=\sum_{L\in S}\sum_{R\in S}[L\cup R=S][L\cap R=\varnothing]f_L*g_R=\sum_{L\in S}f_L*g_{S-L}\)

Sol

先看集合并卷积

最暴力的做法就是\(O(2^n)\)分别枚举\(L,R\)，\(O(4^n)\)的将答案加到\(h\)里去 我觉得不行

下面是个高妙做法：

• 定义\(f\)的莫比乌斯变换为\(\hat f\),其中\(\hat {f_{S}}=\sum_{T\in S}f_T\)
• 我们对卷积式两边同时做莫比乌斯变换：\(\hat{h_S}=\sum_{L\in S}\sum_{R\in S}[L\cup R\in S]f_L*g_R\)。
• 由于\([L\cup R\in S]=[L\in S][R\in S]\)，所以\(\hat{h_S}=\sum_{L\in S}\sum_{R\in S}f_L*g_R\)。
• 即\(\hat{h_S}=(\sum_{L\in S}f_L)*(\sum_{R\in S}g_R)\)。

于是问题就在如何快速求出\(f\)和\(g\)莫比乌斯变换。

这东西是个子集和，可以高维前缀和优化到\(O(n\times 2^n)\)。

但是我们求出来的只是\(\hat{h_S}\)，我们还需要减去它的子集和，就需要再做一遍高维差分，复杂度同样是\(O(n\times 2^n)\)。

void FMT(int *A, int o) {// o 为识别因子
    for (int i = 1; i < ST; i <<= 1)//ST-1 表示全集
        for (int j = 0; j < ST; j++)
            if (i&j) (A[j] += A[j^i]*o) %= mod;
}

下面我们看子集卷积

它的条件比集合并卷积更苛刻，要求\(L\)和\(R\)的集合不能相交。

我们可以在卷积时多加一维，维护集合的大小，如\(f_{i,S}\)表示集合中有\(i\)个元素，集合表示为\(S\)。显然，当\(i\)和\(S\)的真实元素个数相等时才是合法的。初始时，我们只把\(f_{cnt|S|,S}\)的值赋成原来的\(f_S\)，然后做一遍莫比乌斯变换，\(h_{i,S}=\sum_{j=0}^if_{j,S}*g_{i-j,S}\)。

还是上代码吧

for (int i = 0; i <= n; i++) FMT(g[i], 1);
for (int i = 0; i <= n; i++) FMT(f[i], 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        for (int k = 0; k < ST; k++)
            (h[i][k] += 1ll*f[j][k]*g[i-j][k]%mod) %= mod;
    FMT(h[i], -1);
    for (int k = 0; k < ST; k++) if (cnt[k] != i) h[i][k] = 0;
    if (i != n) FMT(h[i], 1);
}