基本知识
狄利克雷卷积
定义在数论函数（在 \(\mathbb{Z_+}\) 上定义的函数）之间的一种二元运算。
定义：
\[(f * g)(n) = \sum_{xy=n}f(x)g(y) = \sum_{d \mid n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)
\]
常见函数
单位函数
- \(\varepsilon(n) = [n = 1]\)
其中 \([P]\) 为艾弗森括号，当且仅当 \(P\) 为真时为 \(1\)，否则为 \(0\)。
常数函数
幂函数
- \({\rm{Id}}_{k}(n) = n^k\)
特别的，当 \(k = 1\) 时为恒等函数 \({\rm{Id}}(n) = n\)，\(k = 0\) 时为常数函数 \(\mathbf{1}(n) = 1\)。
除数函数
- \(\sigma_{k}(n) = \sum\limits_{{d}\mid{n}} d^{k}\)
特别的，当 \(k = 1\) 时为因数和函数 \(\sigma(n) = n\)，\(k = 0\) 时为因数个数函数 \(\mathbf{1}(n) = 1\)。
欧拉函数
- \(\varphi(n) = \prod\limits_{p_{i} ~ \mid ~ {n} \atop p_{i} ~ \in ~ \mathbb{P}}(p_i - 1) = \sum\limits_{i = 1}^{n}[\gcd{(i, n)}=1]\)
欧拉函数代表不大于 \(n\) 的正整数与 \(n\) 互质的数的个数。
莫比乌斯函数
- \(\mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ (-1)^k & n ~ \mathbf{不含平方数因子，且} ~ n = p_{1}p_{2}\dots{p}_{k} \\ 0 & n ~ \mathbf{含平方数因子}\end{cases}\)
积性函数与完全积性函数
积性函数
\(f(1) = 1\) 且当 \(\gcd{(a, b)} = 1\) 时满足 \(f(a)f(b) = f(ab)\) 的函数称积性函数。
完全积性函数
是积性函数的强形式，\(f(1) = 1\)，且 \(\forall a, ~ b \in D, ~ f(a)f(b) = f(ab)\) 的函数称完全积性函数。
狄利克雷运算的性质
封闭性
对于积性函数狄利克雷运算的结果一定是积性函数，假设下列讨论 \(\gcd{(a, b)} = 1\)。
\[\begin{aligned}
(f * g)(a) \cdot (f * g)(b) &= \left( \sum_{d_1 \mid a} f(d_1)g\left(\frac{a}{d_1}\right) \right) \left(\sum_{d_2 \mid b} f(d_2) g\left(\frac{b}{d_2}\right)\right) \\
&= \sum_{d_1 \mid a}\sum_{d_2 \mid b} f(d_1)f(d_2) g\left(\frac{a}{d_1}\right) g\left(\frac{b}{d_2}\right) \\
&= \sum_{d_1d_2 \mid ab}f(d_1 d_2) g\left(\frac{ab}{d_1 d_2}\right) \\
&= \sum_{d \mid ab}f(d)g\left(\frac{ab}{d}\right) \\
&= (f * g)(ab)
\end{aligned}
\]
交换律
\[(f * g)(n) = \sum_{xy=n}f(x)g(y) = \sum_{yx=n}f(y)g(x) = (g * f)(n)
\]
结合律
\[\begin{aligned}
((f * g) * h)(n) &= \sum_{xy=n}(f * g)(x) \cdot h(y) \\
&= \sum_{xy=n}\left( \sum_{uv=x}f(u)g(v)\right)h(y) \\
&= \sum_{uvy=n}f(u)g(v)h(y) \\
&= \sum_{uz=n}f(u)\left( \sum_{vy=z}g(v)h(y) \right) \\
&= \sum_{uz=n}f(u) \cdot (g * h)(z) \\
&= (f * (g * h))(n)
\end{aligned}
\]
分配律
\[\begin{aligned}
(f * (g + h))(n) &= \sum_{xy=n}f(x) \cdot (g + h)(y) \\
&= \sum_{xy=n}f(x) \left( g(y) + h(y) \right) \\
&= \sum_{xy=n}f(x)g(y) + \sum_{xy=n}f(x)h(y) \\
&= (f * g)(n) + (f * h)(n)
\end{aligned}
\]
单位元
\(\varepsilon(n) = [n = 1]\) 为狄利克雷卷积运算群的单位元，有如下性质成立。
\[(\varepsilon * f)(n) = \sum_{d \mid n} \varepsilon(d)f \left( \frac{n}{d} \right) = f(n)
\]
逆元
若 \(f * g = \varepsilon\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的狄利克雷逆元。
一些数论基本结论
欧拉反演
\[n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)
\]
证明：
从 \(1\) 遍历到 \(n\)，所有 \(\gcd{(i, n)}\) 的值是唯一的，且为 \(n\) 的因数。
\[\begin{aligned}
n &= \sum_{d \mid n}\sum_{i = 1}^{n} [\gcd{(i, n)} = d]\\
&= \sum_{d \mid n}\sum_{i = 1}^{n} \left[\gcd{\left(\frac{i}{d}, \frac{n}{d}\right)} = 1\right] \\
&= \sum_{d \mid n}\varphi\left(\frac{n}{d}\right) \\
&= \sum_{d \mid n} \varphi(d)
\end{aligned}
\]
莫比乌斯函数的性质
\[\sum_{d \mid n}\mu(d) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & \rm{otherwise} \end{cases}
\]
证明：
考虑对所有 \(d\) 进行分类讨论：
-
\(d\) 含有平方数因子，\(\mu(d) = 0\)。
-
\(d\) 不含有平方数因子，设 \(n = {p}_{1}^{\alpha_1}{p}_{2}^{\alpha_2}\dots{p}_{k}^{\alpha_k}(k>0)\)，\(S \subseteq \rm{\{1,2,\dots,k\}}\)。
则有 \(d = \prod\limits_{i \in S}p_i\)，则 \(\mu(d) = (-1)^{\lvert S \rvert}\)。
对所有 \(d\) 进行容斥原理：
\[\begin{aligned}
\sum_{S \subseteq \rm{\{1,2,\dots,k\}}}(-1)^{\lvert S \rvert} &= \sum_{i = 0}^{k}\binom{k}{i}(-1)^{i} \\
&= (1 - 1)^{k} \\
&= 0
\end{aligned}
\]
特别的，当 \(k = 0\) 时 \(\mu(1) = 1\)。
综上可知：
\[\sum_{d \mid n}\mu(d) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & \rm{otherwise} \end{cases}
\]
狄利克雷卷积结论
\({\rm{Id}} * {\mathbf{1}} = \sigma_k\)
证明：
\[\begin{aligned}
({\rm{Id}}_{k} * {\mathbf{1}})(n) &= \sum_{d \mid n}{\rm{Id}}_{k}(d){\mathbf{1}}\left(\frac{n}{d}\right) \\
&= \sum_{d \mid n}{\rm{Id}}_{k}(d) \\
&= \sigma_{k}(n)
\end{aligned}
\]
\(\varphi * {\mathbf{1}} = {\rm{Id}}\)
证明：
\[\begin{aligned}
(\varphi * {\mathbf{1}})(n) &= \sum_{d \mid n}\varphi(d){\mathbf{1}}\left(\frac{n}{d}\right) \\
&= \sum_{d \mid n}\varphi(d) \\
&= n \\
&= {\rm{Id}}(n)
\end{aligned}
\]
\(\mu * {\mathbf{1}} = \varepsilon\)
证明：
\[\begin{aligned}
(\mu * {\mathbf{1}})(n) &= \sum_{d \mid n}\mu(d){\mathbf{1}}\left(\frac{n}{d}\right) \\
&= \sum_{d \mid n}\mu(d) \\
&= [n = 1] \\
&= \varepsilon(n)
\end{aligned}
\]
\({\rm{Id}} * \mu = \varphi\)
证明：
由于 \(\mu * {\mathbf{1}} = \varepsilon\)，故 \(\mu\) 为 \({\mathbf{1}}\) 的狄利克雷卷积逆元，所以根据 \(\varphi * {\mathbf{1}} = {\rm{Id}}\) 有：
\[\varphi * {\mathbf{1}} * \mu = {\rm{Id}} * \mu
\]
\[\varphi = {\rm{Id}} * \mu
\]
应用
杜教筛
