[APIO2010]特别行动队

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如 (i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k) 的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=xi​+xi+1​+...+xi+k​ 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x':x'= ax^2+bx+cx′:x′=ax2+bx+c ，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x1​=2,x2​=2,x3​=3,x4​=4 。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式

输入格式：

 

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 x_1, x_2, …, x_nx1​,x2​,…,xn​ ，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

 

输出格式：

 

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

输出样例#1： 复制

9

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

斜率优化DP

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol f[1000001],sum[1000001],A,B,C;
int n,a[1000001],st[1000001],head,tail;
lol gety(int x)
{
  return f[x]+A*sum[x]*sum[x]-B*sum[x];
}
lol getx(int x)
{
  return 2*A*sum[x];
}
double getk(int x,int y)
{
  return ((double)(gety(y)-gety(x))/(double)(getx(y)-getx(x)));
}
lol cost(int x,int y)
{
  lol now=sum[y]-sum[x];
  return A*now*now+B*now+C;
}
int main()
{int i,j;
  cin>>n;
  scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&C);
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d",&a[i]);
      sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
  st[1]=0;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      while (head<tail&&getk(st[head],st[head+1])<=sum[i]) head++;
      f[i]=f[st[head]]+cost(st[head],i);
      while (head<tail&&getk(st[tail],i)<getk(st[tail-1],st[tail])) tail--;
      st[++tail]=i;
    }
  cout<<f[n];
}