[NOI2007]生成树计数

Description

最近，小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展，他发现：

·n个结点的环的生成树个数为n。

·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2)。这两个发现让小栋欣喜若狂，由此更加坚定了他继续计算生成树个数的

想法，他要计算出各种各样图的生成树数目。一天，小栋和同学聚会，大家围坐在一张大圆桌周围。小栋看了看，

马上想到了生成树问题。如果把每个同学看成一个结点，邻座（结点间距离为1）的同学间连一条边，就变成了一

个环。可是，小栋对环的计数已经十分娴熟且不再感兴趣。于是，小栋又把图变了一下：不仅把邻座的同学之间连

一条边，还把相隔一个座位（结点间距离为2）的同学之间也连一条边，将结点间有边直接相连的这两种情况统称

为有边相连，如图1所示。

小栋以前没有计算过这类图的生成树个数，但是，他想起了老师讲过的计算任意图的生成树个数的一种通用方法：

构造一个n×n的矩阵A={aij},其中

其中di表示结点i的度数。与图1相应的A矩阵如下所示。为了计算图1所对应的生成数的个数，只要去掉矩阵A的最

后一行和最后一列，得到一个(n-1)×(n-1)的矩阵B，计算出矩阵B的行列式的值便可得到图1的生成树的个数所以

生成树的个数为|B|=3528。小栋发现利用通用方法，因计算过于复杂而很难算出来，而且用其他方法也难以找到更

简便的公式进行计算。于是，他将图做了简化，从一个地方将圆桌断开，这样所有的同学形成了一条链，连接距离

为1和距离为2的点。例如八个点的情形如下：

这样生成树的总数就减少了很多。小栋不停的思考，一直到聚会结束，终于找到了一种快捷的方法计算出这个图的

生成树个数。可是，如果把距离为3的点也连起来，小栋就不知道如何快捷计算了。现在，请你帮助小栋计算这类

图的生成树的数目。

Input

包含两个整数k,n，由一个空格分隔。k表示要将所有距离不超过k（含k）的结点连接起来，n表示有n个结点。

Output

输出一个整数，表示生成树的个数。由于答案可能比较大，所以你 只要输出答案除65521 的余数即可。

Sample Input

 

3 5

Sample Output

 

75

HINT

因为k很小，所以考虑状态压缩

每一个状态表示i的前k个点各自属于哪个连通块

用一个k位的k进制数表示状态

然而状态很多，用最小表示法

即122与233是等价的

这样状态数不超过52

然后就可以DP

$f[i][S]=\sum_{S_last}f[i-1][S_last]$

显然可以用矩阵快速幂

实现枚举S，找到通过变换能形成的所有状态

具体通过一个二进制数，表示第k+1个点向哪些点连边

用并查集判断，并将新的状态改为最小表示

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol cnt,n,Mod=65521,k,id[100001],vis[201],set[201];
lol h[201],v[201];
struct Matrix
{
  lol a[201][201];
  Matrix operator * (const Matrix &x) const
  {
    Matrix res;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
      for(int j=1;j<=cnt;++j)
        for(int k=1;k<=cnt;++k)
        res.a[i][j]=(res.a[i][j]+(a[i][k]*x.a[k][j])%Mod)%Mod;
    return res;
  }
}ans,Mat;
int find(int x)
{
  if (set[x]!=x) set[x]=find(set[x]);
  return set[x];
}
lol pow(lol x,lol y)
{
  lol res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=res*x%Mod;
      x=x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
Matrix qpow(lol y)
{int i;
  Matrix res;
  memset(res.a,0,sizeof(res.a));
  for (i=1;i<=cnt;i++)
    res.a[i][i]=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=res*Mat;
      Mat=Mat*Mat;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
void dfs(int x,int ed,int S)
{int i;
  if (x==k+1)
    {
      id[S]=++cnt;
      h[cnt]=S;
      return;
    }
  for (i=1;i<=ed;i++)
    dfs(x+1,ed+(i==ed),(i<<(3*(x-1)))+S);
}
int get_id()
{
  memset(vis,-1,sizeof(vis));
  int cc=0,i;
  for (i=2;i<=k+1;i++)
    if (vis[find(i)]==-1) vis[find(i)]=++cc;
  int x=0;
  for (i=2;i<=k+1;i++)
    {
      x+=(vis[find(i)]<<(3*(i-2)));
    }
  return id[x];
}
void build_Mat(int now,int add)
{int i,j,flag;
  for (i=0;i<=k+1;i++)
    set[i]=i;
  for (i=1;i<=k;i++)
    {
      for (j=i+1;j<=k;j++)
    if ((now>>((i-1)*3)&7)==(now>>((j-1)*3)&7))
    {
      int p=find(i),q=find(j);
      if (p!=q) set[p]=q;
    }
    }
  for (i=1;i<=k;i++)
    if (add&(1<<i-1))
      {
    int p=find(i),q=find(k+1);
    if (p==q) return;
    set[p]=q;
      }
  flag=0;
  for (i=2;i<=k+1;i++)
    {
      if (find(1)==find(i)) {flag=1;break;}
    }
  if (!flag) return;
  Mat.a[id[now]][get_id()]++;
}
int main()
{int i,j;
  cin>>k>>n;
  dfs(1,1,0);
  for (i=1;i<=cnt;i++)
    {
      for (j=0;j<(1<<k);j++)
    {
      build_Mat(h[i],j);
    }
    }
  for (i=1;i<=cnt;i++)
    {
      memset(v,0,sizeof(v));
      int x=h[i];
      int as=1;
      for (j=1;j<=k;j++)
    {
      v[x>>(3*(j-1))&7]++;
    }
      for (j=1;j<=k;j++)
    if (v[j]>=2)
    {
      as*=pow(v[j],v[j]-2);
    }
      ans.a[1][i]=as;
    }
  ans=ans*qpow(n-k);
  cout<<ans.a[1][1]<<endl;
}