[HNOI2012]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n<=100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

输入输出格式

输入格式：

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n<=20。

输出格式：

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4

输出样例#1： 复制

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。
对于一个数，我们可以把它分解成$k*2^{i}*3^{j}$

每个k(不含2，3的因数)可以单独考虑，答案是所有k方案的积

即考虑$k*2^i*3^j<=n$的方案

构造一个矩阵：

 k   3k  9k  27k

2k  6k  18k  54k

4k 12k  36k 108k

令f[i][S]表示当前选到2^i，行状态为S

S第j位为1表示选了2^i*3^j

首先根据题意，S相邻2位不能为1

然后转移时前面的状态S'

要满足与S&S'=0

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,Log2[100001],Log3[100001],pw2[21],pw3[21];
int ans,Mod=1e9+1,f[21][100001],s[100001],cnt,p,q,sum;
int main()
{int i,j,k,l;
  cin>>n;
  Log2[1]=0;
  for (i=2;i<=n;i++)
    Log2[i]=Log2[i/2]+1;
  Log3[1]=0;
  for (i=3;i<=n;i++)
    Log3[i]=Log3[i/3]+1;
  pw2[0]=1;
  for (i=1;i<=18;i++)
    pw2[i]=pw2[i-1]*2;
  pw3[0]=1;
  for (i=1;i<=13;i++)
    pw3[i]=pw3[i-1]*3;
  for (i=0;i<pw2[13];i++)
    {
      s[i]=1;
      for (j=0;j<=11;j++)
    if ((i&pw2[j])&&(i&pw2[j+1])) s[i]=0;
    }
  ans=1;
  for (i=1;i<=n;i++)
    if (i%2&&i%3)
    {
      k=1;
      q=Log3[n/i]+1;
      for (j=0;j<pw2[q];j++)
    f[0][j]=s[j];
      while (i*pw2[k]<=n)
    {
      p=Log3[n/(i*pw2[k])]+1;
      for (j=0;j<pw2[p];j++)
        if (s[j])
        {
          f[k][j]=0;
          for (l=0;l<pw2[q];l++)
        if (s[l]&&((j&l)==0))
          {
            f[k][j]=(f[k][j]+f[k-1][l])%Mod;
          }
        }
        else f[k][j]=0;
      q=p;
      k++;
    }
      sum=0;
      for (j=0;j<pw2[q];j++)
    sum=(sum+f[k-1][j])%Mod;
      ans=(1ll*ans*sum)%Mod;
    }
  cout<<ans;
}