[HAOI2007]分割矩阵

题目描述

将一个a*b的数字矩阵进行如下分割：将原矩阵沿某一条直线分割成两个矩阵，再将生成的两个矩阵继续如此分割（当然也可以只分割其中的一个），这样分割了（n-1)次后，原矩阵被分割成了n个矩阵。（每次分割都只能沿着数字间的缝隙进行）

原矩阵中每一位置上有一个分值，一个矩阵的总分为其所含各位置上分值之和。现在需要把矩阵按上述规则分割成n个矩阵，并使各矩阵总分的均方差最小。

请编程对给出的矩阵及n，求出均方差的最小值。

输入输出格式

输入格式：

第一行为3个整数，表示a,b,n(1<a,b<=10,1<n<=10）的值。

第二行至第n+1行每行为b个小于100的非负整数，表示矩阵中相应位置上的分值。每行相邻两数之间用一个空格分开。

输出格式：

仅一个数，为均方差的最小值（四舍五入精确到小数点后2位）

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 4 4

2 3 4 6

5 7 5 1

10 4 0 5

2 0 2 3

4 1 1 1

输出样例#1： 复制

0.50

平均值$ave$可以直接算出来

然后就是记忆化搜索

$f[x1][y1][x2][y2][k]$表示矩阵(x1,y1,x2,y2)切k次的最小方差

然后就是枚举切开的位置和子矩阵要切的刀数k'

为了防止超时，用记忆化

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
double ave,a[11][11],sum[11][11],f[11][11][11][11][11];
int n,m;
double dfs(int x1,int y1,int x2,int y2,int k)
{int i,j;
  if (f[x1][y1][x2][y2][k]!=-1) return f[x1][y1][x2][y2][k];
  double ans=2e9;
  double x=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1];
  if (k==0) return (x-ave)*(x-ave);
  for (i=x1+1;i<=x2;i++)
    for (j=0;j<k;j++)
    {
      ans=min(ans,dfs(x1,y1,i-1,y2,j)+dfs(i,y1,x2,y2,k-j-1));
    }
  for (i=y1+1;i<=y2;i++)
    for (j=0;j<k;j++)
    {
      ans=min(ans,dfs(x1,y1,x2,i-1,j)+dfs(x1,i,x2,y2,k-j-1));
    }
  return f[x1][y1][x2][y2][k]=ans;
}
int main()
{int i,j,k,x,y,l;
  cin>>n>>m>>k;
  memset(f,-1,sizeof(f));
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      for (j=1;j<=m;j++)
    {
      scanf("%lf",&a[i][j]);
      sum[i][j]=a[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
    }
    }
  ave=sum[n][m]/(double)k;
  dfs(1,1,n,m,k-1);
  printf("%.2lf\n",sqrt(f[1][1][n][m][k-1]/(double)k));
}