[HAOI2011]向量
题目描述
给你一对数a,b，你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量，问你能不能拼出另一个向量(x,y)。
说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)
输入输出格式
输入格式：第一行数组组数t，(t<=50000)
接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2*10^9<=a,b,x,y<=2*10^9)
输出格式：t行每行为Y或者为N，分别表示可以拼出来，不能拼出来
输入输出样例
说明
样例解释：
第一组：(2,1)+(1,2)=(3,3)
第三组：(-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3)
题解来自520dalao%%%
$k(a,b)+q(b,a)+w(a,-b)+c(b,-a)=(x,y)$
--> $(k+w)a+(q+c)b=x, (k-w)b+(q-c)a=y$ .
由裴蜀定理可得：$ax+by=c$ ,x和y有整数解的充要条件是 $gcd(a,b)|c$ ，
证明：令$a=pgcd(a,b),\ b=qgcd(a,b)$ ,则原式=$(px+qy)gcd(a,b)=c$ ，显然因为$gcd(a,b)$ 为整数，而要使x和y为整数，则$gcd(a,b)|c$ 。
我们回到开始的方程组$(k+w)a+(q+c)b=x,(k-w)b+(q-c)a=y$ 。由裴蜀定理易得:
使$(k+w),(q+c),(k-w),(q-c)$ 均为整数的充要条件是：
$gcd(a,b)|x$ 且$gcd(a,b)|y$ 。但是注意到(k+w),(k-w)有整数解不一定k和w有整数解（(q+c)和(q-c)是同理的）。此时不妨设$(k+w)=f,(k-w)=g$ ,则$k=(f+g)/2,w=(f-g)/2$ ，因为$2|(f+g)$ 且$2|(f-g)$ ，显然要使k和w均为整数则f和g均为偶数或均为奇数（(q+c)和(q-c)同理）。
于是我们考虑这四种情况：
1、当(k+w)、(k-w)、(q+c)、(q-c)均为偶数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$ 提公因数2结合$gcd(a,b)|x $ => $ 2gcd(a,b)|x$ 同理 $gcd(a,b)|y$
2、当(k+w)和(k-w)为偶数，(q+c)和(q-c)为奇数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$ 先左右两边同加b，再提公因数2 结合$gcd(a,b)|x$ --> $2gcd(a,b)|x+b$ 同理 $2gcd(a,b)|y+a$
3、当(k+w)和(k-w)为奇数，(q+c)和(q-c)为偶数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$ 先左右两边同加a，再提公因数2 结合$gcd(a,b)|x $ -->$2gcd(a,b)|x+a$ 同理 $2gcd(a,b)|y+b$
4、当(k+w)、(k-w)、(q+c)、(q-c)均为奇数时，$(k+w)a+(q+c)b=x$ 先左右两边同加a+b，再提公因数2 结合$gcd(a,b)|x$ --> $2gcd(a,b)|x+a+b$ 同理 $2gcd(a,b)|y+a+b$
只要满足上述的任意一种情况，则说明本题k、w、q、c有整数解，说明可行，否则说明无解。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 typedef long long lol; 8 lol a,b,x,y; 9 lol gcd(lol a,lol b) 10 { 11 if (!b) return a; 12 return gcd(b,a%b); 13 } 14 int main() 15 {int T,flag; 16 cin>>T; 17 while (T--) 18 { 19 scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&x,&y); 20 lol d=gcd(2*a,2*b); 21 flag=0; 22 if (x%d==0&&y%d==0) flag=1; 23 if ((x+a)%d==0&&(y+b)%d==0) flag=1; 24 if ((x+b)%d==0&&(y+a)%d==0) flag=1; 25 if ((x+a+b)%d==0&&(y+a+b)%d==0) flag=1; 26 if (flag) printf("Y\n"); 27 else printf("N\n"); 28 } 29 }
Description
给你一对数a,b，你可以任意使用(a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)这些向量，问你能不能拼出另一个向量(x,y)。
说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为(x,y)
Input
第一行数组组数t，(t<=50000)
接下来t行每行四个整数a,b,x,y (-2*109<=a,b,x,y<=2*109)
Output
t行每行为Y或者为N，分别表示可以拼出来，不能拼出来
Sample Input
2 1 3 3
1 1 0 1
1 0 -2 3
Sample Output
N
Y
HINT
样例解释：
第一组：(2,1)+(1,2)=(3,3)
第三组：(-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3)
