[HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

图的生成树计数用Maxtrix-Tree定理

答案就是基尔霍夫Kirchhoff矩阵的行列和

详细的知识自行百度

直接计算复杂度很高

但可以转化为上三角，这样行列和就是对角线的积

因为求行列和有一些性质，于是我们可以通过高斯消元构造

性质.1  互换矩阵的两行(列)，行列式变号。

性质.2  如果矩阵有两行(列)完全相同，则行列式为 0

性质.3  如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数k，新行列式的值等于原行列式的值乘上数k。

性质.4  如果矩阵有两行(列)成比例(比例系数k)，则行列式的值为 0

性质.5  如果把矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的k倍，则行列式的值不变。

证明见ZYYS

但是取模不能出现实数

于是采用辗转相除法，如果要使b为0

那么使得(a,b)=>(b,a%b),直到为0

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int S,a[101][101],Mod=1e9,ans,n,m,id[101][101];
char s[101][101];
int guass()
{int i,j,k;
  S--;
  for (i=1;i<=S;i++)
    {
      for (j=1;j<=S;j++)
    {
      a[i][j]=(a[i][j]+Mod)%Mod;
    }
    }
  ans=1;
  for (i=1;i<=S;i++)
    {
      for (j=i+1;j<=S;j++)
    while (a[j][i])
    {
      int t=a[i][i]/a[j][i];
      for (k=i;k<=S;k++)
        {
          a[i][k]=(a[i][k]-1ll*t*a[j][k]%Mod+Mod)%Mod;
          swap(a[i][k],a[j][k]);
        }
      ans*=-1;
    }
      ans=1ll*ans*a[i][i]%Mod;;
    }
  return (ans+Mod)%Mod;
}
int main()
{int i,j;
  cin>>n>>m;
  for (i=0;i<=m+1;i++)
    s[0][i]='*',s[n+1][i]='*';
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%s",s[i]+1);
      s[i][0]=s[i][m+1]='*';
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      for (j=1;j<=m;j++)
    if (s[i][j]=='.')
    {
      id[i][j]=++S;
      if (s[i-1][j]=='.')
        {
          a[id[i-1][j]][id[i][j]]=1;
          a[id[i][j]][id[i-1][j]]=1;
        }
      if (s[i][j-1]=='.')
        {
          a[id[i][j-1]][id[i][j]]=1;
          a[id[i][j]][id[i][j-1]]=1;
        }
    }
    }
  for (i=1;i<=S;i++)
    {
      for (j=1;j<=S;j++)
    {
      if (i!=j&&a[i][j])
        a[i][i]++;
    }
      for (j=1;j<=S;j++)
    if (i!=j) a[i][j]=-a[i][j];
    }
  printf("%d\n",guass());
}