[NOI2010]能量采集

题目描述

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

输入输出格式

输入格式：

仅包含一行，为两个整数n和m。

输出格式：

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

输入输出样例

输入样例#1：

【样例输入1】
5 4


【样例输入2】
3 4

输出样例#1：

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

说明

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

 

如果gcd(x,y)=d，那么(x,y)到(0,0)显然经过了这些点

gcd(x,y)=1,gcd(x,y)=2....gcd(x,y)=d-1

所以列出

$2\times\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-n*m$

反演分块，这道题甚至不需要考虑复杂度，因为n<=100000

O(√n*√n)数论分块套一个数论分块直接就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol mu[100001],prime[100001],n,m,tot,N,M,as,ans;
bool vis[100001];
void pre()
{lol i,j;
  mu[1]=1;
  for (i=2;i<=n;i++)
    {
      if (vis[i]==0)
    {
      prime[++tot]=i;
      mu[i]=-1;
    }
      for (j=1;j<=tot;j++)
    {
      if (i*prime[j]>n) break;
      vis[i*prime[j]]=1;
      if (i%prime[j]==0)
        {
          mu[i*prime[j]]=0;
          break;
        }
      else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
    }
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    mu[i]+=mu[i-1];
}
lol query(int d)
{lol i,pos;
  N=n/d;M=m/d;
  as=0;
  for (i=1;i<=N;i=pos+1)
    {
      pos=min(N/(N/i),M/(M/i));
      as+=(mu[pos]-mu[i-1])*(N/i)*(M/i);
    }
  return as;
}
int main()
{lol i,pos;
  cin>>n>>m;
  if (n>m) swap(n,m);
  pre();
  for (i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
      pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
      ans+=((pos+i)*(pos-i+1)/2)*query(i);
    }
  ans=ans*2-n*m;
  cout<<ans;
}