bzoj 4407 于神之怒加强版

Description

给下N,M,K.求

Input

输入有多组数据，输入数据的第一行两个正整数T,K，代表有T组数据，K的意义如上所示，下面第二行到第T+1行，每行为两个正整数N,M，其意义如上式所示。

Output

如题

Sample Input

1 2
3 3

Sample Output

20

HINT

1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000

 

$\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]$

$\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]$

$\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n/d}{i}][\frac{m/d}{i}]$

$\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]$

令$T=id$

$\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]$

$f(T)=\sum_{d|T}d^k\mu(\frac{T}{d})$

这是一个狄利克雷卷积，一定是积性函数

所以可以用线性筛法求出，不必要用枚举倍数的nlogn的方FA♂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long lol;
const int N=5000000;
int Mod=1e9+7;
int sum[N+5],s[N+5],prime[N+5],tot,k,n,m,ans;
bool vis[N+5];
int qpow(int x,int y)
{
  int res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=1ll*res*x%Mod;
      x=1ll*x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
void pre()
{int i,j;
  sum[1]=1;
  for (i=2;i<=N;i++)
    {
      if (vis[i]==0)
    {
      prime[++tot]=i;
      s[tot]=qpow(i,k);
      sum[i]=s[tot]-1;
    }
      for (j=1;j<=tot;j++)
    {
      if (1ll*i*prime[j]>N) break;
      vis[i*prime[j]]=1;
      if (i%prime[j]==0)
        {
          sum[i*prime[j]]=1ll*sum[i]*s[j]%Mod;
          break;
        }
      else sum[i*prime[j]]=1ll*sum[i]*sum[prime[j]]%Mod;
    }
    }
  for (i=1;i<=N;i++)
    sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%Mod;
}
int main()
{int T,i,pos;
  cin>>T>>k;
  pre();
  while (T--)
    {
      scanf("%d%d",&n,&m);
      if (n>m) swap(n,m);
      ans=0;
      for (i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
      pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
      ans+=1ll*(sum[pos]-sum[i-1]+Mod)%Mod*(n/i)%Mod*(m/i)%Mod;
      ans%=Mod;
    }
      printf("%d\n",ans);
    }
}