[SDOI2010]代码拍卖会

 

题目描述

随着iPig在P++语言上的造诣日益提升，他形成了自己一套完整的代码库。猪王国想参加POI的童鞋们都争先恐后问iPig索要代码库。iPig不想把代码库给所有想要的小猪，只想给其中的一部分既关系好又肯出钱的小猪，于是他决定举行了一个超大型拍卖会。

在拍卖会上，所有的N头小猪将会按照和iPig的好感度从低到高，从左到右地在iPig面前站成一排。每个小猪身上都有9猪币（与人民币汇率不 明），从最左边开始，每个小猪依次举起一块牌子，上面写上想付出的买代码库的猪币数量（1到9之间的一个整数）。大家都知道，如果自己付的钱比左边的猪 少，肯定得不到梦寐以求的代码库，因此从第二只起，每只猪出的钱都大于等于左边猪出的价钱。最终出的钱最多的小猪（们）会得到iPig的代码库真传，向着 保送PKU（Pig Kingdom University）的梦想前进。

iPig对自己想到的这个点子感到十分满意，在去现场的路上，iPig就在想象拍卖会上会出现的场景，例如一共会出现多少种出价情况之类的问题，但 这些问题都太简单了，iPig早已不敢兴趣了，他想要去研究更加困难的问题。iPig发现如果他从台上往下看，所有小猪举的牌子从左到右将会正好构成一个 N位的整数，他现在想要挑战的问题是所有可能构成的整数中能正好被P整除的有多少个。由于答案过大，他只想要知道答案mod 999911659就行了。

输入输出格式

输入格式：

输入文件auction.in有且仅有一行：两个数N（1≤N≤10^18）、P(1≤P≤500)，用一个空格分开。

输出格式：

输入文件auction.out有且仅有一行：一个数，表示答案除以999911659的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

2 3

输出样例#1：

15

说明

样例解释

方案可以是：12 15 18 24 27 33 36 39 45 48 57 66 69 78 99，共15种。

数据规模

给定N,P，有一个数A是N位数，并且A的每一位不减(如11234)并且不超过9，求能被P整除的数有多少个。

分 析：首先我们注意到N非常大，O(N)绝对不能接受，但是P只有500，而且A这个数有非常奇妙的性质：由于A的每一位不减，所以可以将A拆成 0,1,11,111,1111,11111……中取九个的和(如11234=11111+111+11+1+0+0+0+0+0)，这样一来，由于 11…111 mod P会出现循环，就可以将N从复杂度中消去，记Cnt[i]表示0,1,11……中mod P 为i的个数(0 <= I < P)，题目就变成了从Cnt[i]中取九个使下标之和被P整除；

于是可以容易的想到动态规划，F[i][j][k]表示做到Cnt[i],当前取了k个，k个的和mod P为j，转移方程就是

F[i + 1][(j + l * i) % P][k + l] = (F[i][j][k] * Calc(l, Cnt[i]) + F[i + 1][(j + l * i) % P][k + l]) % mod;(枚举l)

其中Calc(l, Cnt[i])表示Cnt[i]中无差别的取出l个(可以重复)的方案数，根据排列组合的定理可知Calc(A, B) = C(A+B-1,A) 

复杂度：O(P*P*9*9)

记得最后的数还要加上111...11(n个1).因为在DP的时候这个数是可以有前导0的。

转载自http://trinklee.blog.163.com/blog/static/238158060201551422646803/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol Mod=999911659,ans;
lol n,p,cnt[501],beg,len,pos[501],A[10],c[501][11],f[501][501][11],a;
int main()
{lol i,j,k,l;
  cin>>n>>p;
  lol sum=0;
  if (n<=p) 
    {
      for (i=1;i<=n;i++)
    {
      sum=sum*10+1;
      sum%=p;
      cnt[sum]++;
    }
      a=sum;
    }
     else 
     { 
       for (i=1;i<=p+1;i++)
     {
       sum=sum*10+1;
       sum%=p;
       if (cnt[sum])
         {
           beg=pos[sum];
           len=i-pos[sum];
           break;
         }
       cnt[sum]++;
       pos[sum]=i;
     }
       for (i=0;i<p;i++)
     if (cnt[i]&&pos[i]>=beg)
       {
         cnt[i]=(n-beg+1)/len;
         if (pos[i]-beg+1<=(n-beg+1)%len) cnt[i]++;
         if ((pos[i]-beg+1)%len==(n-beg+1)%len) a=i;
       }
     }
  A[1]=1;
  for (i=2;i<=8;i++)
    A[i]=(Mod-Mod/i)*A[Mod%i]%Mod;
   for (i=0;i<p;i++)
    {
      c[i][0]=1;
      if (cnt[i])
      for (j=1;j<=8;j++)
    {
      c[i][j]=(cnt[i]*c[i][j-1]%Mod)*A[j]%Mod;
        cnt[i]++;cnt[i]%=Mod;
    }
    }
   f[0][a][0]=1;
  for (i=0;i<p;i++)
    {
      for (j=0;j<p;j++)
    {
      for (k=0;k<9;k++)
        {
          for (l=0;l<=k;l++)
        {
          f[i+1][j][k]+=f[i][(j-(l*i%p)+p)%p][k-l]*c[i][l]%Mod;
          f[i+1][j][k]%=Mod;
          //cout<<i+1<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<l<<' '<<f[i+1][j][k]<<endl;
        }
        }
    }
    }
  for (i=0;i<=8;i++)
    ans+=f[p][0][i],ans%=Mod;
  cout<<ans;
}