洛谷P2405 non天平
题目背景
non最近正在为自己的体重而苦恼，他想称量自己的体重。于是，他找来一个天平与许多砝码。
题目描述
砝码的重量均是n的幂次，n^1、n^2、n^3、n^4、n^5的……non想知道至少要多少个砝码才可以称出他的重量m。注意砝码可以放左边，也可以放右边。
输入输出格式
输入格式：第一行一个正整数m，表示non的重量；
第二行一个正整数n，表示砝码重量幂次的底；
输出格式：一个整数表示最少所需的砝码数。
输入输出样例
99 10
2
说明
【数据范围】
对于30%的数据点，m <= 2^63 - 1
对于100%的数据点，0 <= m <= 10^10000, 0 < n <= 10000
原题目也就等价于这样一个等式
k0*10^0+k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=99 这里我们假设左边就三项把 方便研究
k 的系数可正可负,正就是放在右边,负就是放在左边。
那么我们要求∑|k|最小,可以这样想: 我们先考虑最小的质量是 1 的砝码,我们要确定使用了几个 1
砝码,那么我们就要把个位的 9 补平,要么是 10-1,需要一个; 要么是 0+9,需要 9 个;
显然减一下好,而且减掉一个刚好。于是我们确定了上述方程的第一项系数 k0= -1
那么方程就是这样:-1*10^0+k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=99
把第一项移到右边:k1*10^1+k2*10^2+k3*10^3=100
我们看到我们成功的把个位填平了,使得方程可以同除以 10
那么就变成了 k1*10^0+k2*10^1+k3*10^2=10
于是到这里我们看到了问题具有很强的 最优子结构性质。
而无后效性是显然的,我们确定了小法码的个数后,右边的个位被填平,所以我们不在需要小法码
现在有一种贪心做法，每一次把它加或减变成最近的n倍数，再分解问题
但这样显然是有问题的，但有60分，已经接近了
正解是数位dp
我们将原数进制分解，假设第i位为p[i]
那么就有几种选择：
1.直接填入p[i]个数
2.填入n-p[i]个数(放在左边)，然后第i+1位填入一个数弥补
我们设f[i][0/1]
前一维意思是处理到 n 进制
下的第 i 位,后一维意思是我们当前这一位的处理策略 0 代表直接拿出 p[i]这么多的砝码,1 代
表我们把当前位补平,进到下一位去
于是状态转移方程:
f[i][0]:=min(f[i-1][0]+p[i],f[i-1][1]+p[i]+1);
f[i][1]:=min(f[i-1][0]+n-p[i],f[i-1][1]+n-p[i]-1);
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 typedef long long lol; 7 lol len,a[10001],cnt,n,p[10001],ans,f[10001][2],c[10001]; 8 int getMod() 9 { 10 lol s=0,i; 11 for (i=len;i>=1;i--) 12 { 13 s=s*10+a[i]; 14 s%=n; 15 } 16 return s; 17 } 18 void chu() 19 {lol sum; 20 int i; 21 sum=0; 22 memset(c,0,sizeof(c)); 23 for (i=len;i>=1;i--) 24 { 25 sum=sum*10+a[i]; 26 if (sum>=n) 27 { 28 c[i]=sum/n; 29 sum%=n; 30 } 31 else c[i]=0; 32 } 33 memcpy(a,c,sizeof(a)); 34 while (len&&a[len]==0) len--; 35 } 36 int main() 37 {int i; 38 char ch=getchar(); 39 while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); 40 len=0; 41 while (ch>='0'&&ch<='9') 42 { 43 len++; 44 a[len]=ch-'0'; 45 ch=getchar(); 46 } 47 cin>>n; 48 if (n==1) 49 { 50 for (i=1;i<=len;i++) 51 printf("%lld",a[i]); 52 cout<<endl; 53 return 0; 54 } 55 reverse(a+1,a+len+1); 56 cnt=0; 57 while (len) 58 { 59 p[++cnt]=getMod(); 60 chu(); 61 } 62 f[0][0]=0;f[0][1]=1; 63 for (i=1;i<=cnt;i++) 64 { 65 f[i][0]=min(f[i-1][0]+p[i],f[i-1][1]+p[i]+1); 66 f[i][1]=min(f[i-1][1]+n-p[i]-1,f[i-1][0]+n-p[i]); 67 } 68 cout<<min(f[cnt][1]+1,f[cnt][0]); 69 }
