栅栏(fence)

【问题描述】
小 v 家有一条栅栏,由 n 个木板顺序组成,第 i 个木板的高度是 Ai。现
在小镇上流行在栅栏上画矩形,所以小 v 也要在自家的栅栏上画。若要在区间
[x,x+k-1]这个区间画一个宽度为 k 的矩形(1≤x≤n-k+1),为了美观,高度一
定是这个区间里高度最低的木板。现在小 v 心中有 m 个理想的宽度,第 i 个为
Ki,(Ki 与 Kj 之间可能一样)。他想知道对于每个 Ki,其矩形高度的期望。
【输入格式】
第一行一个整数 n,表示木板的数目。
第二行有 n 个正整数,第 i 个数表示第 i 个木板的高度。
第三行一个整数 m,表示理想宽度的数目。
第四行有 m 个正整数,第 i 个数表示小 v 心中理想的第 i 个宽度 Ki。
【输出格式】
输出 m 行实数,第 i 行表示宽度为 Ki 的矩形高度的期望,只要你的答案和
正确答案的差的绝对值小于 1e-6,你的答案将被视为正确。

【输入样例】

3

3 2 1

4

1 2 3 1
【输出样例】

2.000000000000000

1.500000000000000

1.000000000000000

2.000000000000000
【数据范围】
对于 30%的数据,n≤20;m≤20;
对于 40%的数据,n≤2000;m≤2000;
对于 70%的数据,n≤100000;m≤100000;
对于 100%的数据,n≤1000000;m≤1000000;1≤Ai≤10 9 ;1≤Ki≤n;
输入较大,C++选手请使用读入优化。

%%%YZD大佬，考场怒切此题

本题要用到把差分数组差分和单调栈的技巧

0            x                 j                 i

|————|—————|—————|——————

假设我们维护一个单调递增的栈，当前点为i,j=q[tail],x=q[tail-1]

我们为了方便，写为[i,i]*[i,n]=s[i]

意思是以[i,i]为左端点，[i,n]为右端点的所有区间最小值为s[i]

如果h[i]<h[j],那么说明，之前我们认为的[x+1,j]*[i,n]=s[j]是错误的，我们要减去这些情况

再加上[x+1,j]*[i,n]=s[i]的情况

弹出j，执行单调栈操作

直到h[i]>h[j]，在加入[i,i]*[i,n]=s[i]的情况

为什么不要减去[j+1,i-1]*[i,n]？因为我们在读到i之前，[j+1,i-1]已经被处理完了

 

现在问题只有：怎样增加删除情况

令f[i]为长度为i的所有区间最小值的总和

我们来看一下[1,2]*[3,5]=s[i]的情况

长为2：2～3               f[2]+=s[i];

长为3：1～3，2～4    f[3]+=2*s[i];

长为4：1～4，2～5　 f[4]+=2*s[i]

长为5：1～5　　　　 f[5]+=1*s[i]

我们发现，系数根据区间长呈勾函数

1 2 2 1

差分一次

1 1 0 -1 -1 0

二次差分

1 0 -1 -1 0 1

 

为什么要二次差分？

1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

差分一次：1 1 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1 -1

涉及了线段树区间操作，显然超时

但若再差分一次：1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1

就只要修改4个点

 

把二次差分拓展到[x+1,j]*[i,n]

最短的区间长是i-j+1，f[i-j+1]+=s[i]

最长的是区间长是n-x，f[n-x+2]+=s[i]

f[i-k+1]-=s[i]

f[n-k+2]-=s[i]

因为还要减去s[j]，所以将s[i]变成s[i]-s[j]就行

 

对于[i,i]×[i,n]=s[i]的系数

1 1 1 1 1 1 1(n-i+1) 0 0

差分：1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0

再差分：1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1

就等价于：f[1]+=s[i],f[2]-=s[i],f[n-i+2]-=s[i],f[n-i+3]+=s[i]

得到最后的数组只要求两次前缀和就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
double f[1000001];
int q[1000001],tail,i,s[1000001],n,m;
int gi()
{
  char ch=getchar();
  while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
  int x=0;
  while (ch>='0'&&ch<='9')
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x;
}

int main()
{int i,k;
  freopen("fence.in","r",stdin);
  freopen("fence.out","w",stdout);
  cin>>n;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      s[i]=gi();
      while (tail&&s[q[tail]]>s[i])
    {
      int j=q[tail],k=q[tail-1];
      f[i-j+1]+=s[i]-s[j];
      f[n-k+2]+=s[i]-s[j];
      f[n-j+2]+=s[j]-s[i];
      f[i-k+1]+=s[j]-s[i];
      tail--;
    }
      tail++;
      q[tail]=i;
      f[1]+=s[i];f[2]-=s[i];
      f[n-i+3]+=s[i];f[n-i+2]-=s[i];
    }
  for (i=1;i<=n;i++)
    f[i]+=f[i-1];
  for (i=1;i<=n;i++)
    f[i]+=f[i-1];
  cin>>m;
  for (i=1;i<=m;i++)
    {
      k=gi();
      printf("%.15lf\n",f[k]/(double)(n-k+1));
    }
}